☉江苏省如皋市城西中学 章春娟

深度解读函数单调性

☉江苏省如皋市城西中学 章春娟

函数是高中数学的核心内容，单调性是函数最重要的性质之一，它反映了函数值的变化规律．纵观历年高考，对单调性的考查主要体现在以下四个方面：（1）单调性的定义；（2）单调区间的求解；（3）利用单调性求参数的取值范围；（4）单调性的应用．下面就这四个方面举例分析．

一、单调性的定义

例1若函数y=f（x）在R上单调递增，且f（m2）＞f（－m），则实数m的取值范围是（）．

A．（－∞，－1）B．（0，+∞）

C．（－1，0）D．（－∞，－1）∪（0，+∞）解析：由函数单调性的定义可得m2＞－m，解得答案为D．

例2已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在［0，+∞）上递减，那么一定有（ ）．

二、单调区间的求解

求函数的单调区间，除了利用单调性的定义及已知的基本初等函数的单调性外，还可以利用函数的导数法、子集法、图像法、复合函数的单调性“同增异减”、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性、偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性、互为反函数的两个函数具有相同的单调性这些方法求解．在公共定义域内，增函数f（x）+增函数g（x）是增函数；减函数f（x）+减函数g（x）是减函数；增函数f（x）－减函数g（x）是增函数；减函数f（x）－增函数g（x）是减函数．

例3函数y=log0.7（x2－3x+2）的单调区间为______.

解析：由x2－3x+2＞0，解得函数的定义域为（－∞，1）∪（2，+∞）.据复合函数单调性的同增异减性质得函数y=log0.7（x2－3x+2）的单调递增区间为（－∞，1），单调递减区间为（2，+∞）.

点评：本题求解中应先求函数的定义域，单调区间为定义域的子区间.

（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x－2y=0垂直，求实数a的值.

（2）讨论函数f（x）的单调性.

当a＞0时，因为x＞0，由f′（x）＞0得（x－a）（x+2a）＞0，解得x＞a；

由f′（x）＜0得（x－a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a.所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.

当a＜0时，因为x＞0，由f′（x）＞0得（x－a）（x+2a）＞0，解得x＞－2a；由f′（x）＜0得（x－a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜－2a.所以函数f（x）在（0，－2a）上单调递减，在（－2a，+∞）上单调递增.

点评：导数的引入给函数单调性的研究带来了很多方便，为函数单调性的判断提供了程序化的解题思路.实践经验告诉我们，含参函数的单调性问题是高考的重点，也是函数研究中最基本最重要的问题，解题中需要对参数的取值范围进行讨论.

三、单调性的应用

单调性有着极其广泛的应用，在高考中主要体现在利用单调性解不等式、求最值、比较大小.

四、利用单调性求参数的范围

例7（2012年高考上海）已知函数f（x）=e|x－a|（a为常数）.若

f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是______.

由g（x）的图像知f（x）在区间［1，+∞）上是增函数时，a≤1.

图1

（1）求函数f（x）的解析式.

（2）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围.

解得－1＜m≤0，即m∈（－1，0］时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数.

点评：在利用区间（m，2m+1）为区间（－1，1）的子区间时，除了m≥－1且2m+1≤1两个条件限制之外，不可忽视条件2m+1＞m，即必须确保给定区间为非空集合，这一点在解题时极易忽略，容易造成解题错误.