陈 晨, 韩章家, 张志让

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

1 引言及引理

文中所指的群都是有限群,所用的符号都是标准的,可参见文献[1]。

群G的两个子群H与K称为可换的,如果 HK=KH。显然若集合HK是G的子群,那么 H与K是可换的。群G的一个子群称为拟正规,如果它与 G的每一个子群可交换。群 G的子群称为π-拟正规或 S-拟正规的,如果它与G的每一个Sylow子群可交换[2]。

很多的群论学者都讨论过极小子群与有限群结构的关系,例如Ito曾经证明:如果一个奇阶群G的所有极小子群都在其中心里,那么G为幂零群;Buckley在文献[3]中得到:如果一个奇阶群G的所有极小子群都正规,那么G为超可解群;Shaalan在文献[4]中证明了:如果一个群G的所有极小子群和4阶循环子群在G中都是S-拟正规的,那么G是超可解的。

另一方面,2006年,樊恽等[5]引入了半覆盖远离子群的概念。如果M和N都是群G的正规子群且N⊂M,则称商群M/N为G的正规因子。设H为G的一个子群,如果HM=HN,则称H覆盖M/N,而当H∩M=H∩N时,则称H远离M/N。

定义1 群G的子群H称为具有半覆盖远离性质,若存在G的一个主列:

1=G0≤G1≤…≤Gn=G,

使得对每一 i=1,…,n-1,H覆盖Gi+1/Gi或者H远离Gi+1/Gi。这时也称H是G的半覆盖远离子群。

利用半覆盖远离子群,樊恽等证明了:如果群的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中具有半覆盖远离性,那么G是超可解的。

可以看到利用极小子群和4阶循环子群的π-拟正规性和半覆盖远离性都可得到群G的超可解性。那么能否将这两种形式的结果结合起来,文中试图就这一问题做一些探讨。

关于π-拟正规子群和半覆盖远离子群的简单性质在文中是必要的:

引理1[2]设 G为群,那么

(1)如果H≤K≤G并且H在G中π-拟正规,那么H 在K中π-拟正规;

(2)设 K ◁G,如果 H 在G 中 π-拟正规,那么 HK/K 在G/K 中 π-拟正规 。

引理2[5]设 G为群,那么

(1)如果H≤K≤G并且在G中具有半覆盖远离性,那么H在K具有半覆盖远离性;

(2)设K◁G并且K≤H≤G,如果H/K在G/K中具有半覆盖远离性,那么H在G中具有半覆盖远离性。

2 主要定理

定理1 设G是群。如果G的每一素数阶子群和4阶循环子群要么是G的π-拟正规子群,要么是 G的半覆盖远离子群,那么G是超可解的。

证明:假设G是极小阶反例。由引理1(1)和引理2(1)可知定理的假设对 G的每一真子群均成立,从而 G的每一真子群都是超可解群。由文献[6]可得:

(1)存在 p∈(G),G 的Sylowπ-子群P 正规,P/Φ(P)是 G/Φ(P)的极小正规子群;

(2)如果 p＞2,则exp(P)=pe。如果 p=2,则exp(P)｜4,p2‖G｜;

(3)P/Φ(P)非循环。

设 x∈P-Φ(P),则 x的阶为p或者4。根据定理的条件,子群〈x〉要么是 G的π-拟正规子群,要么是G的半覆盖远离子群。

如果子群〈x〉是G的半覆盖远离子群,那么存在G的一个主列

1=G0≤G1≤…≤Gn=G,

使得〈x〉覆盖或者远离所有的 Gi+1/Gi。由于 x∈G,所以存在某个 j,使得 x∉Gj+1但 x∈Gj+1。由 Gj∩〈x〉≠Gj+1∩〈x〉可得 Gj〈x〉=Gj+1〈x〉=Gj+1。故 Gj+1/Gj是一个阶为p或4的循环群。由于且P/Φ(P)是 G/Φ(P)的极小正规子群,因此(Gj∩P)Φ(P)=Φ(P)或 P 。如果(Gj∩P)Φ(P)=P,则 Gj∩ P=P,这与 x∉Gj∩P矛盾。故 Gj∩P≤Φ(P)。另一方面,(Gj+1∩P)Φ(P)=P,故P/Φ(P)是一个阶为 p或4的循环群。利用引理2(2)便可得G/Φ(P)满足定理假设,从而G/Φ(P)超可解,当然 G就是超可解的,矛盾。

如果子群〈x〉是 G的π-拟正规子群,设H为P在G中的补且取 Qi∈Sylqi(H),i=1,…,s,则 H=〈Q1,…,Qi〉。由题设,〈x〉Qi=Qi〈x〉,故〈x〉H=H〈x〉。因 H〈x〉Φ(P)∩ P=〈x〉Φ(P),而P/Φ(P)为初等交换群,故1≠〈x〉Φ(P)◁—〈H,P〉=G 。由 P/Φ(P)得极小性便得〈x〉Φ(P)=P,即 P=〈x〉。现在G/P≅H超可解,P循环,从而有G为超可解,得最后的矛盾。定理得证。

由于半覆盖远离子群既是c-正规子群也是覆盖远离子群,故由文中的主要结果可得到以下的推论:

推论1[3]如果一个奇阶群G的所有极小子群都正规,那么G为超可解群。

推论2[4]如果一个群G的所有极小子群和4阶子群在 G中都是S-拟正规的,那么 G是超可解的。

推论3[5]如果群G的每一素数阶子群和4阶子群在G中是c-正规的,那么G是超可解的。

推论4[5]如果群G的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中具有半覆盖远离性,那么G是超可解的。

致谢:感谢成都信息工程学院科研基金(KYTZ201003)对本文的资助

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[3] J Buckley.Finite groups whose minimal subgroups are normal[J],Math.Z.1970,116:15-17.

[4] E Shaalan.Theinfuence of π-quasinormality of some subgroups on the struc-ture of a fnite group[J].Acta Math.Hungar,1990,56:287-293.

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