陈 晨, 韩章家, 张志让

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

1 引言及引理

文中所指的群都是有限群,所用的符号都是标准的,可参见文献[1]。

群G的两个子群H与K称为可换的,如果 HK=KH。显然若集合HK是G的子群,那么 H与K是可换的。群G的一个子群称为拟正规,如果它与 G的每一个子群可交换。群 G的子群称为π-拟正规或 S-拟正规的,如果它与G的每一个Sylow子群可交换[2]。

很多的群论学者都讨论过极小子群与有限群结构的关系,例如Ito曾经证明:如果一个奇阶群G的所有极小子群都在其中心里,那么G为幂零群;Buckley在文献[3]中得到:如果一个奇阶群G的所有极小子群都正规,那么G为超可解群;Shaalan在文献[4]中证明了:如果一个群G的所有极小子群和4阶循环子群在G中都是S-拟正规的,那么G是超可解的。

另一方面,2006年,樊恽等[5]引入了半覆盖远离子群的概念。如果M和N都是群G的正规子群且N⊂M,则称商群M/N为G的正规因子。设H为G的一个子群,如果HM=HN,则称H覆盖M/N,而当H∩M=H∩N时,则称H远离M/N。

定义1 群G的子群H称为具有半覆盖远离性质,若存在G的一个主列:

1=G0≤G1≤…≤Gn=G,

使得对每一 i=1,…,n-1,H覆盖Gi+1/Gi或者H远离Gi+1/Gi。这时也称H是G的半覆盖远离子群。

利用半覆盖远离子群,樊恽等证明了:如果群的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中具有半覆盖远离性,那么G是超可解的。

可以看到利用极小子群和4阶循环子群的π-拟正规性和半覆盖远离性都可得到群G的超可解性。那么能否将这两种形式的结果结合起来,文中试图就这一问题做一些探讨。

关于π-拟正规子群和……