李倩男，李云强，蒋淑静，路遥

(1. 信息工程大学 电子技术学院，河南 郑州 450004；2. 中国科学院 光电研究院，北京 100094；3. 国防科学技术大学 计算机学院，湖南 长沙 410073）

1 引言

2010年12月10日，美国国家标准与技术协会（NIST）公布进入 SHA3竞选算法[1～3]最后一轮的5个杂凑算法[4]，由Bertoni G、Daemen J和Peeters M等人设计的Keccak杂凑算法就是其中之一[5]。Keccak杂凑算法蕴涵着杂凑算法的最新设计理念[6,7]，对其编码环节的系统分析具有重要的理论和应用价值。χ变换是Keccak压缩函数中唯一的非线性环节，也是文献[8～10]的算法所选用的非线性环节，文献[11]中通过对Keccak的非线性环节进行改造，构造了新的非线性变换MiniKeccak。密码算法抵抗差分分析的强度也一直是人们关注的问题，对密码算法中的重要环节进行差分分析有助于分析整个密码算法的抗差分分析攻击的强度，也有助于对算法中的编码环节进行更深刻的认识和把握。为了更好地应用Keccack类非线性变换编码环节，本文将对其差分性质进行系统研究。

2 基本概念

则称Y=f( X)为n元Keccak类非线性变换。

显然，Keccak压缩函数中χ变换是5元Keccak类非线性变换，MiniKeccak中的非线性变换是3元Keccak类非线性变换。

定义2 设(X, +)，(Y, +)是有限交换群，f: X→Y，α∈X,β∈Y,

则称pf(α→β)为f在输入差为α条件下，输出差为β的差分转移概率，并称α→β为f的一个差分对应，称pf(α→β)为该差分对应的转移概率。其中，和#{·}均表示集合·中的元素个数。

定义3 设X=(x0, x1,…,xn-1)∈GFn(2)为n维布尔向量，称X=(x0, x1,…,xn-1)中的不为零的分量的个数为X的汉明重量，记做WH(X)。

3 差分性质分析

定理1 对于n元Keccak类非线性变换f，如果α, α′,β, β′∈，且β=f( x⊕α)⊕f( x)，＜α′, β′＞∈{＜a, b＞|a=(α＜＜j)且b=(β＜＜j ),0≤j＜n,j∈Z}， 那 么 差 分 转 移 概 率pf(α′→β′)=pf(α→β)。

证明 当j=1，即……