潘建伟

（武威职业学院，甘肃 武威 733000）

0 引言

本征值问题是微波技术中最基本的问题之一。对于亥姆霍兹方程的求解,除少数规则波导可用分离变量法求得其解析解外,绝大多数都采用近似方法求解。有限元法剖分灵活,边界条件易处理,便于处理复杂媒质,而且程序通用性强,已是数值计算中应用最广泛的一种方法。但目前广泛用的是三角形上的三节点线性插值函数的简单插值方法,只有剖分密度极大时才能满足某些工程的需要，但是消耗了大量的计算机内存，于是高次插值函数应运而生，它可用较少的单元来获得较高的精度。由于对背脊波导的数值计算至尽还未有报道，特别是常用于介质加载移相器的波导，因为它的加载结构，使得差相移增大，插入损耗降低，优值大大提高，体积减小，重量减轻，目前已在S、C、X波段广泛应用，功率承受能力也得到了一定程度的提高。因此文中在综合介绍二次有限元基本原理的基础上，用二次FEM实例计算了矩形波导，背脊波导。

1 二次单元的有限元分析

1.1 二次三角形单元及插值函数

一个二次三角形单元有6个节点，3个顶点和3个边中间点各一个，如图1所示。设三角形单元内某点的场是6个节点上场的二次插值：

在6个节点上强加式（1），即可确定上式中的6个系数 ae, be, ce, de, ee, fe，将它们代回到式（1），得到：

假设节点的编码如图1所示，则上式中的插值函数为：

二阶三角形单元的单元矩阵则是66×的矩阵，其元素如下：

列向量eb的……