李军

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

关于Brown随机指数一致可积性条件的推广

李军

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

利用Brown运动的下函数,推广了随机指数一致可积性的判定条件,进而改进了Novikov条件和Kazamaki条件.

随机指数;指数鞅的一致可积性;Brown运动的下函数;Novikov条件; Kazamaki条件

1 引言及主要结果

则结论依然成立.之后,文献[4]证明了在(2)式中,取ε=0,即

蕴含条件(1).文献[5]给出了一个更漂亮的条件:

这个条件对于条件(1)是充分的,而且要比条件(2)弱.

对于条件(3)的弱化还可以采取其它方法.在文献[6-7]中,假设存在Brown运动的一个下函数φ(关于下函数的定义详见本文第二节),使得

那么条件(1)成立.文献[8]也用类似于(5)式的条件对Kazamaki条件(4)进行了弱化.文献[9]也给出了(1)式的充分条件,即

上述两个条件(6)和(7)在改进了文献[6-8]的结果的同时,特别地进一步对Novikov条件(3)和Kazamaki条件(4)式作了改进.

本文的主要工作是借助于 Brown的下函数对文献 [9]中的结果进行推广,将条件 (6)和(7)统一起来,进而得出条件(1)的更一般的条件,从而更进一步改进了Novikov条件(3)和Kazamaki条件(4).下面给出本文的主要定理.

定理1.1 令φ是Brown运动的一个下函数,则下述条件对于(1)式是充分的,即

其中α∈R且α̸=1,同时,上确界是取遍所有停时τ而得到的.

2 预备知识

首先给出 Brown运动的下函数的定义[9-10].设 (Bt)t≥0是标准 Brown运动且 φ是定义在 R+上的实值连续函数.集合 A={ω:∃t=t(ω),∀s≥t,Bs(ω)＜φ(s)}属于 σ-代数X=∩t＞0σ(Bs;s≥t).由Blumenthal 0-1律可得P(A)=0或1.

注 集合A也可以表示成:A={ω:Bt＜φ(t),t→∞}.

定义2.1 若P(A)=0,则称φ是Brown运动的下函数;若P(A)=1,则称φ是Brown运动的上函数.

3 主要结果的证明

参考……