邹序焱

（宜宾学院 数学学院，四川 宜宾 644000）

近年来，许多学者对非线性微分方程边值问题正解的存在性进行了研究[1-5]，如文献[5]利用不动点定理研究了边值问题得到了在一定条件下存在解的结论。

大多数文献都只证明了解的存在性，并未给出解的求法以及解的表达式，这是因为求边值问题的解析解比较困难。本文将采用差分方法讨论边值问题（1）的数值解法。

式中：p(x)∈ C1[a,b]，p(x)≥ 0 ；

r(x)，f(x)∈C[a,b]；

1 用差分方法求解边值问题

用有限差分方法解两点边值问题，一般分两步进行：

第二步 用差商代替微商把原方程变成等价的离散方程。

对函数y(x)∈C1[a,b]，以xm(m=0,1,…,N)为网格结点，当步长h足够小时，根据导数定义可简单地用差商近似导数，故有以下公式 ：

类似地有

式中：

将式（2）和（3）代入式（1）得

为方便，简记为

因此式（1）可化为

其边值条件可化为：

略去h2的高阶无穷小项oh2，则边值问题（1）的离散差分形式为：

这是一个关于ym的方程组，其误差阶为oh2[6]，即方程组为：

令y=y0, y1, …, yN；

b= , f1, …, fN-1,；

因此，方程组（4）可表示为

Ay=b。

由于系数矩阵A为三对角矩阵，故可用追赶法求解[6-8]，且追赶法具有速度快，易编程的优点.

2 实例分析

例1 用差分法求解两点值问题

解 按前面所述的方法得到的系数矩阵是三对角矩阵，用追赶法得到其数值解，并将数值解与精确解y(x)=ex进行比较，见表1。表中给出了3 个结点处取不同步长时的数值解和精确解。

表1 数值解与精确解Table 1Numerical solutions and exact solutions

由表1中的数值结果可知，对此类二阶两点边值问题，本文所给的差分算法是可行的，也验证了理论分析的正确性。……