相 倩 吴颂平

(北京航空航天大学 航空科学与工程学院，北京100191)

徐 悦

(中国航空研究院 航空数值模拟技术研究应用中心，北京100012)

随着CFD(Computational Fluid Dynamics)模拟能力的提高，计算中需要求解的方程组的规模也急剧增加.快速求解大型方程组已经成为CFD计算的瓶颈之一［1］.迭代算法是求解大型方程组的有效方法，其收敛速度依赖于方程组系数矩阵的性质.针对超声速流动离散方程组系数矩阵往往是本质正定的这一特点，本文提出了一种迭代算法，称为交替LU分裂 (ALUS，Alternating Lower-Upper Splitting)算法.该算法计算量小，易于实现，且具有很好的鲁棒性，可大大节省计算时间.

1 迭代算法

常用的迭代算法分为两类.一类是基于系数矩阵分裂的古典迭代方法，例如Jacobi方法，Gauss-Seidel方法，松弛法 (SOR，Successive O-ver Relaxation)等.其中交替方向算法因其简单容易实现，在实际计算中有着广泛的应用［2］.近些年逐步发展起来的HSS(Hermitian and skew-Hermitian Splitting)方法［3］和 PSS(Positive definite and skew-Hermitian Splitting)方法［4］及其扩展算法也可以看作是广义的交替方向算法，具体参见文献［5］.另一类算法是基于变分极值原理的迭代算法，其中最具代表性的有适用于对称正定系统的共轭梯度法 (CG，Conjugate Gradient)以及适用于非对称正定的广义极小残量法 (GMRES，Generalized Minimal Residual).

1.1 交替方向算法

设矩阵A∈Cn×n，考虑线性方程组

若A可以分解成A=Q+S，则迭代算法

称为交替方向算法.该算法亦可以写成

并且A=M－F.由式 (3)可知，矩阵M可以看成是一个预处理算子.一个好的预处理算子M应该构造简单易于求逆，并且谱半径ρ(M－1F)应该尽可能小.

对于交替方向算法式 (2)，有以下定理成立.

定理1 对任意的正实……