田社平，陈洪亮

(上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240)

在正弦稳态电路中，与功率有关的概念包括瞬时功率、平均(有功)功率和无功功率、表观功率、复功率等，其中平均功率是指电路实际消耗的功率，其对应的电能将转换为电、磁能量之外的能量如热能等消耗掉，具有十分明显的物理含义;而无功功率作为一种功率的概念，虽然具有功率的量纲，但它终究不是实际作功的功率，其物理含义却不那么明显。在教学过程中，常有学生提出“什么是无功功率?”和“无功功率与瞬时功率有何关系?”等问题。本文结合教学实践，试对上述问题作一讨论。

在电工技术中，无功功率的定义首先源自对储能元件无功功率的定义。对电感元件，无功功率定义为电感两端正弦稳态电压、电流有效值的乘积;对电容元件，无功功率定义为电容两端正弦稳态电压、电流有效值的乘积的负值[1-5]。这说明无功功率不仅有大小之分，而且还有正负之分。

1 无功功率的实质

1.1 无功功率之正负号的含义

无功功率的正负号反映了电容存储的电能和电感存储的磁能之间可以互相转化。利用图1对无功功率的正负号可作进一步说明。图1(a)是LC两个元件的串联。对照电容和电感的瞬时功率曲线，可以看出:电路中的电容在吸收功率的同时，电感恰好在释放功率;而电感在吸收功率的同时，电容恰好在释放功率。在图1(b)所示的并联电路中还包含电阻元件。对照电容和电感的瞬时功率曲线，可以看出:尽管并非在所有的时间段电容和电感在吸收或释放功率正好相反，但在一部分时间段内电路中的电容在吸收功率的同时，电感恰好在释放功率;而电感在吸收功率的同时，电容恰好在释放功率。我们由此可以得出:在存在两种储能元件的电路中，电容和电感在吸收或释放功率的是可以相互抵消的，无功功率之正负号的物理意义正在于此，即电容存储的电能和电感存储的磁能之间可以互相转化。有的教材认为，存在两种储能元件L和C的任何电路中，电容和电感在吸收或释放功率的时间上正好相反[5]。由图1(b)可知，上述说法是不准确的，即电路中存在电阻元件时，电路中电容和电感在吸收或释放功率的时间上并非正好相反。通过电路仿真软件Multisim进行仿真也验证了这一点。图2所示的仿真是令图1(b)中参数为R=5Ω、L=0.1H、C=2mF，激励频率为10Hz、有效值为1V时在0.7～1s内电感和电容的瞬时功率曲线。由图2可明显看出两种储能元件功率的符号并非在所有时间内正好相反。

图1 无功功率的正负号说明

图2 图1(b)的Multisim仿真结果

1.2 无功功率之大小的含义

在正弦稳态时，储能元件与外电路(电源)之间存在着能量不断往返的现象。根据无功功率的定义，电感或电容的无功功率的大小反映了电感或的电容元件储能变化率(瞬时功率)的最大值。进一步，无功功率与储能之间存在如下关系[1]:

请注意理解上式中各变量的含义(与教材[1]表示同)。由式(1)可进一步理解无功功率的如下物理意义。

(1)电感的无功功率等于其储能平均值WL的2ω倍;电容的无功功率等于其储能平均值的WC2ω倍的负值。储能越多，若能量往返的频率越大则往返的规模也越大。无功功率能够反映这一情况。

(2)由于平均储能和频率只能取正值，因此电感的无功功率永远是正值，而电容的无功功率永远是负值。

2 一般正弦稳态电路的无功功率

2.1 无功功率的定义及物理意义

对于一般的正弦稳态一端口电路，其端口电压与端口电流的相位差φ=φu－φi。图3所示为感性一端口电路的相量图。

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图3 正弦稳态一端口电路的相量图

该一端口电路吸收的平均功率为

式中，UP=U cosφ。由相量图可知，是与电流同相位的电压分量，两者有效值之积得到有功功率。因此U cosφ称为电压的有功分量或有功电压。相量图中的是与电流正交的电压分量，两者有效值之积得到无功功率，即

式中，UQ=Usinφ，称为电压的无功分量或无功电压。

由上可知，对正弦稳态电路，只要电压和电流存在相位差就存在无功功率。无功功率还满足如下关系:

上式表明:无功功率正比于电路中两种平均储能的差值。两种储能在电路内部可自行交换，而与外电路往返的能量仅为两种储能平均值的差值。当两种储能平均值正好相等，则电路与外电路(电源)之间并不存在能量往返的现象。因此，对一般正弦稳态电路，其无功功率的大小同样反映了外电路(电源)参与能量往返的程度。

由上面的讨论可以看出:同相电压、电流分量产生平均功率，而正交电压、电流分量则产生无功功率。

由式(3)可知，一般正弦稳态电路的无功功率是电感、电容元件无功功率定义的推广。

2.2 无功功率与瞬时功率的关系

则该一端口电路吸收的瞬时功率为

图4 正弦稳态一端口电路

该功率是一个随时间变化的量，为瞬时功率。瞬时功率p包括两项，一项为常量，另一项为正弦量，频率是电压(电流)频率的二倍。有的教材认为上式右边第一项为有功分量，第二项为无功分量[5]。这种说法比较模糊，它并不能解释平均(有功)功率和无功功率的大小。

如何从瞬时功率中分解出有关分量和无功分量，应注意理解“同相电压、电流分量产生平均功率，而正交电压、电流分量则产生无功功率”。可以证明，瞬时功率p亦可以表示为

可将上式右边第一和第二项之和称为有功分量PR，第三项称为无功分量PX

事实上，可将图4电路等效为图5(a)所示的串联模型。显然有

电阻分量的瞬时功率为

类似地，电抗分量的瞬时功率为

由式(7)不难得出平均(有功)功率为P=UIcos(φu－φi)，无功功率为 Q=UIsin(φu－φi))。注意，无功功率表达式前面取正号，这是因为按照无功功率的定义，规定电感的无功功率为正，电容的无功功率为负。

图5 正弦稳态一端口电路的两种等效相量模型

图4电路还可等效为图5(b)所示的并联模型。瞬时功率p还可以表示为与式(7)类似的公式:

上式右边第一，第二项之和称为有功分量RA，第三项称为无功量PX。

同样，由此可以得到平均功率和无功功率的正确表达式。

3 结语

本文针对电路教学中对无功功率理解上的一些问题进行了讨论，着重强调了如下几点。

(1)平均功率是由同相电压和电流分量产生的，而正交电压和电流分量则产生无功功率。

(2)正弦稳态电路的无功功率反映了网络与外电路(电源)之间能量往返的规模。储能越多，能量往返的频率越大，则能量往返的规模也越大。

(3)无功功率可正可负，说明了电场储能和磁场储能在电路内部可自行交换。这里必须特别指出的是，规定电感无功功率为正而电容无功功率为负，仅仅是为了公式表达和分析的方便。相反，如取电容无功功率为正而电感无功功率为负，则与无功功率相关的公式都应作符号上的相应修改。

(4)从稳态电路的瞬时功率表达式中可分解出有功分量和无功分量，这两个分量分别对应平均功率和无功功率。值得指出的是，尽管本文给出了两种不同的表示方法，但其本质相同，两种表达式的区别在于所取的时间起点不同。由式(7)和式(11)可以看出，两者表达式在相位上相差φu－φi。

[1]李瀚荪.简明电路分析基础[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陈洪亮，田社平，吴雪等.电路分析基础[M].北京:清华大学出版社.2009

[3]陈希有.电路理论基础[M].北京:高等教育出版社.2004

[4]吴大正.电路基础[M].西安:西安电子科技大学出版社.2007

[5]吴锡龙.电路分析[M].北京:高等教育出版社.2004