安军海，赵巍，牛金鑫

(河北联合大学河北省地震工程研究中心，河北唐山 063009)

0 引言

所谓基础隔震，就是在基础顶面和上部结构之间安装一层具有足够可靠性的隔震层，将基础和上部结构隔离开来，有效控制地面运动向上部结构的传递［1-4］。由于隔震系统的水平刚度远远低于上部结构的抗侧刚度，因此，可大大延长结构的自振周期，避开地震的卓越周期，使结构的变形和地震能量主要集中消耗在隔震层，而上部结构承担的变形非常小。本文提到的RFPS隔震支座就是一种具有良好隔震效果的基础隔震装置，此支座是由上盘、下盘以及嵌套在它们之间的直径较小的圆柱形辊轴(半径R=0.2 m左右)连接而成。地震发生时，其滚动摩擦使一部分地震作用传递到上部结构，依靠滚动摩擦阻力的作用可以发生能量耗散，而依靠其上盘与上部结构的重力可以使结构复位。由于系统运动的动力反应特性的复杂性，有关这种隔震系统的研究工作还很少，本文根据多体动力学理论及达朗贝尔原理，建立了多自由度系统的计算模型并对其隔震效果进行分析计算。

1 RFPS系统滚动摩擦系数的确定

滑移摩擦是指两个表面粗造的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时彼此作用有阻碍相对滑动的阻力。其摩擦系数与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。然而，滚动摩擦则是当有外荷载沿法向作用在辊轴上时，摩擦副在接触表面上不是在一个点上接触，而是在一个半宽为a的长度上发生接触，存在一个力偶矩的作用。因此，滚动摩擦在接触界面上的运动学状态与应力状态与滑移摩擦是不同的，在确定滚动摩擦系数μr时，要用与滑移摩擦不同的模式来解释滚动摩擦过程中所产生的能量消耗现象，根据现有的研究成果，滚动摩擦耗能起因主要有以下几方面:

(1)微观滑移引起的滚动阻力，包括:①自由滚动时，由于接触双方材料弹性常数不同引起的微观滑移;②接触表面同时存在切向力及法向力时的微观滑移。

(2)材料非弹性变形引起的滚动阻力，包括:①弹性滞后的影响;②塑性变形的影响。

(3)粘付效应引起的滚动阻力。

(4)材料表面效应引起的滚动阻力。

总的滚动阻力为上述各因素引起的滚动阻力之和。不难看出，滚动摩擦是一种相当复杂的综合作用过程，一般情况下，滚动摩擦系数μr大致取为一个百分之几的数值［6］，为了简化分析过程，暂时假定滚动摩擦系数在滑道上是一个在上述范围之内的常数，大致估计RFPS辊轴摩擦摆的隔震效果。

2 Newmark－β方法简介

对于有阻尼体系，可建立动力方程:

式中，［M］、［C］和［K］分别为n×n阶质量、阻尼和刚度矩阵，及p(t{})分别为n阶质点的运动加速度、速度、位移及节点荷载向量。

Newmark-β法是在线性加速度方法的基础上提出的一种数值积分方法，它将时间离散化，运动方程仅要求在离散的时间点上满足。

假定速度及位移可以用差分格式表示:

将式(2)和(3)代人式(1)可得:

将式(4)代入式(2)、(3)即可得到t+Δt时刻的速度和位移向量。

Newmark－β法逐步积分格式为一积分格式群。其中，γ，β为精度控制参数。当γ，β满足条件:γ≥1/2，β≥0.25(0.5+γ)2时，它为无条件稳定自起步格式;当γ=1/2时，计算精度为二阶，否则，由于一些与“数值阻尼”及“周期延长”相关的误差，其精度降为一阶;γ=1/2，β=1/4时，退化为常平均加速度法;γ=1/2，β=1/6时，退化为线性加速度法;γ=1/2，β=1/8时，加速度为台阶形变化。

3 框架结构RFPS系统运动几何关系分析

RFPS辊轴摩擦摆系统构静力平衡位置造示意图如图1所示，实际结构工程中，为了保持结构的稳定与平衡，通常在水平和垂直方向设置多个支座，因此上盘只有平动而没有转动，但计算时可按一个支座考虑，且认为各个支座之间没有相互影响。图2给出了辊轴摩擦摆系统一般位置示意图，图2中，该系统的上盘与下盘弧面的半径相同，均为R;r是辊轴的半径;C、D分别是上盘弧面与下盘弧面的中心;O是辊轴横截面圆心;T是辊轴在平衡位置时与圆弧滑道的接触点;A是辊轴横截面与上盘圆弧的接触点;B是辊轴横截面与下盘圆弧的接触点;MN是通过O点的铅锤线;设辊轴在t时刻的转角是θ，取逆时针旋转为正方向;辊轴截面圆心偏离平衡位置的角度为φ，则∠BOT=θ+φ;根据弧长BD=弧长BT，有(θ+φ)r=Rφ，因此:φ=θr/(R－r)。

图1 平衡位置

图2 辊轴摩擦摆系统一般位置示意图

为了保证结构的正常复位，辊轴与滑道之间的接触面应有足够的滑动粗糙度，使二者之间不产生相对滑动。因此上盘的运动参数可由C点的运动参数代表。设辊轴截面在时刻t时的转角是φ，上盘则根据几何关系，得出上盘在x、y方向的位移x0、y0，速度，加速度，计算式如下:

其中:

因此可以将θ看作是描述整个系统运动状态的广义坐标，即x0，y0及其各阶导数都可以表示成广义坐θ及其各阶导数的函数。

4 RFPS辊轴摩擦摆系统运动方程

以设置RFPS辊轴摩擦摆六层框架结构为例来建立其运动方程，把每个楼层看作是一个质点，于是可将结构简化成离散多自由度系统。其相应质量为mi，水平刚度与阻尼系数、竖向刚度与阻尼系数分别为kxi与cxi，kyi与cyi，六层框架结构的计算模型如图3所示。

(1)接触面上的法向反力与切向力的确定

由于辊轴的质量非常小，为了分析简单，略去辊轴质量与截面转动惯量的影响，设上盘的质量为m0，法向反力为N，切向力为F，由达朗贝尔原理，根据上盘在x方向及y方向的静力平衡条件，可分别得:

其中:

图3 框架结构简化模型

(2)RFPS系统运动方程的建立

利用动能定理建立系统运动方程。取上盘及辊轴作为一个独立的隔离系统，则根据相对动能定理应有:

式中，dK表示系统在dt时间内的动能增量，表示形式为

(5)式中dW表示外力对系统所做的功，包括以下各项:

①系统中重力所做的功:dwg=-m0gy0dt，其中g是重力加速度;

②地震力所做的功:dwd，是地震地面加速度;

③弹性力与阻尼力做的功:

④辊轴在滚动过程中与上盘及下盘发生滚动摩擦作用产生功耗为ΔA，设滚动摩擦

系数为μr，根据滚动摩擦理论得:

式中系数2表示同时计入了在上盘与下盘发生的滚动阻力所做的功。

将以上各式代入到(5)式中，可以得到关于θ的运动方程:

其中:

进而确定存在隔震系统时，质点m1至m6的运动方程分别为:

质点运动方程与(6)式构成非线性常微分方程组，可用Newmark－β数值积分方法求解。

当处于静止状态的辊轴有滚动趋势时，由于滚动摩擦作用产生抵抗运动的阻力矩，当主动力矩大于或等于阻力矩时，辊轴才能开始滚动。因此，考虑在静摩擦作用下，当结构处于停滞时段内，隔震系统不起作用，无需计算;而当结构处于非停滞时段内，隔震系统发挥作用，计算系统的地震动力反应。

为考察RFPS系统的隔震、耗能及复位特性，将m1及其以上的质点除去，只考虑有上盘m0存在，暂时不考虑地面运动的影响，若给系统施加一个初始速度，则可以求得其自由振动动力反应时程及相平面迹线，分别如图4及图5所示。由图4及图5可见系统在滚动摩擦阻力的作用下振动幅度不断衰减，最后达到静止状态。

5 结构的数值化计算与分析

为了更直观地考察隔震系统的性能，现将六层框架结构简化为六个多自由度体系，假设各层质量为mi=933t(i=1～6)，楼层之间抗侧刚度和阻尼系数分别为ki=950000kN/m和ci=3000kN/(m.s)(i=1～6)。

运用Newmark－β方法，采用MATLAB编制求解软件，输入数值后得出滑道半径对楼层位移、层间位移的影响以及滚动摩擦系数对层间位移的影响，如表1、表2和表3所示。

表1 滑道半径对楼层位移的影响(mm)(r=20cm，μ=0.01)

表2 滑道半径对层间位移的影响(mm)(r=20cm，μ=0.01，R=2.5m)

表3 滚动摩擦系数对层间位移的影响(mm)(R=2.5m，μ=0.01)

图6和图7给出了滑道半径对楼层位移和层间位移的影响，图8为滚动摩擦系数对层间位移的影响。

由图6和图7中可以看出，采用了滚动摩擦隔震系统之后，楼层位移有所增加但趋于均匀化，使楼层的层间位移值大幅减少，因此结构的内力、应变相应将会大幅降低。虽然结构的楼层位移有一定的增加，尤其第一、二层的位移增加较大，但它们都在合理的范围之内。由图7可以看出，辊轴的半径尺寸对建筑物的层间位移的影响较小。圆弧滑道半径越大，层间位移值也越小，二者呈单调的变化关系，但为了使结构有良好的复位性能而不宜使其半径过大。由图8可以看出，滚动摩擦系数越大，楼层层间位移也越大，这表明滚动摩擦可能也会产生对建筑物运动的阻滞作用。因此，滑道半径和滚动摩擦系数都要视具体情况选取。

6 结论

(1)基于建筑物滚动摩擦隔震理论，建立了圆弧滑道辊轴摩擦隔震系统的运动微分方程及六层框架结构运动方程，用Newmark-β方法数值方法求解可以得到合理的计算结果;

(2)设置滚动摩擦隔震系统之后，上部结构的运动只保持平动而不发生转动，无需在上盘设置转向装置，使其结构相对简单。且依靠摩擦力偶的作用及上部结构自身阻尼，可以消耗传入上部结构的地震能量。RFPS支座具有较好的复位能力与隔震效果;确定适当的圆弧滑道半径与滚动摩擦系数值，隔震系统的隔震效率可以达到90%以上。

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