杨锦波

(广州大学 物理与电子工程学院, 广东 广州, 510006)

Taub定理的完整证明

杨锦波

(广州大学 物理与电子工程学院, 广东 广州, 510006)

采用Hawking和Ellis证明Birkhoff定理的方法, 完整地证明了Taub定理, 即Einstein方程的平面对称真空解必然为Taub时空.

平面对称真空解; Taub时空; Taub定理

Taub定理由Taub在1951年提出[1-2], 这是一条与广义相对论中著名的Birkhoff定理相类似的定理. Birkhoff定理说: Einstein方程的真空球对称解必为Schwarzchild时空. 而Taub定理则指出: Einstein方程的真空平面对称解必为Taub时空.

最初对Birkhoff定理的证明遗漏了另一种可能性[1-2], 后来Hawking和Ellis在《The Large Scale Structure of Space-Time》一书的附录中给出了包含全部可能性的Birkhoff定理的完整证明[3]. 有趣的是, Taub定理也存在相似的情况: 最初对Taub定理的证明也遗漏了另一种可能性, 因此是一种不全面的或不完整证明. 在本文中, 我们参照文献[3]提出的关于Birkhoff定理证明过程, 给出了Taub定理的一个完整证明. 为了简捷, 本文采用自然单位制, 即c = G = 1.

1 平面对称真空Einstein方程

平面对称时空是这样的一个时空, 其等度规群含有与 2维欧氏群同构的子群, 子群的所有轨道都是2维平面. 平面对称条件把度规形式限制成如下形式:

根据克氏符计算出里奇张量, 并代入Einstein真空场方程, 得:

由于广义相对论要求物理规律具有广义坐标变换下的协变性, 这4个方程并不足以确定度规分量的具体的函数形式, 因此本文还将使用谐和坐标条件[2], 即:

仿照Hawking和Ellis在《the large scale structure of Space-Time》的附录B中对Birkhoff定理的证明, 下面将进行分类讨论[3].

2 Taub定理的证明

2.1 Y为常数

当Y为常数时, 我们重新定义y、z, 把系数Y吸收掉, 将线元……