潘全香

（河南科技学院,河南新乡453003）

一般参数下曲线的曲率、挠率和Frenet公式及其应用

潘全香

（河南科技学院,河南新乡453003）

将自然参数下空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式推广到一般参数下,还给出一般参数下空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式的应用及曲率、挠率满足不同关系时得到的几种特殊的曲线.

曲率；挠率；Frenet公式

微分几何近几十年来与数学中其他分支如代数、拓扑、分析与物理等学科互相影响促进,有许多应用,它的内容与方法也在不断的发展.曲率、挠率,Frenet公式都是微分几何中空间曲线论的基本公式,是研究空间曲线论的基础,在微分几何中占有十分重要的地位,可以由它们导出曲线的许多重要性质与定理.但是经典的曲率、挠率,Frenet公式都是在自然参数下推导得到的[1-2],无法直接应用于许多用非自然参数的应用工程,以致一些应用理论不得不舍弃经典的曲率、挠率、Frenet公式而采用形式复杂且计算量大的标架公式[3-4].为此,下面给出一般参数形式下的曲率、挠率公式,Frenet公式及其应用.

1 自然参数形式下曲线的曲率、挠率和Frenet公式

2 一般参数形式下曲线的曲率、挠率和Frenet公式

经简单的推导可以得出一般参数下曲率、挠率的表达式

下面就⇀给出一般参数形式下曲线的Frenet公式的推导.

（1）α′(t )的计算

令

因此,由式（1）、式（3）得：

把式（5）代入式（3）得

（2）γ′(t )的计算

已知γ(t)⊥α(t ),易得γ(t)⊥r′( t ),γ(t)⊥r′′( t),且由γ(t )=1,得到γ(t)⊥γ′(t ),可知r′′( t),γ′(t),均位于α(t)-β(t )平面内,由式（7）得γ′(t) g r′( t )=0.因此γ′(t) g α(t)=0,可知γ′(t )//β(t ),令

由式（8）、式（9）、式（10）得

由式α′(t ),γ(t)的定义,以及叉乘公式a×b×c=(a×c) b-(b×c) a 得

由上式、曲率的表达式……