晋慧峰，张明学

（太原理工大学 数学学院，太原030024）

关于古典Euler和以及推广的Euler和的计算一直是人们关注的问题。在文献［1］中，Borwein给出了如下结果：

之后，Philippe等人［2］利用留数定理考虑了更一般的Euler和

其中，整数p，q≥1，p＋q为奇数，然而对于下面交错Euler和的计算却比较困难。David Bailey利用PSLQ方法得到如下结果

其中z是复平面单位圆上的复数。值得注意的是各种Euler和在量子力学中有着重要的应用，因此本文的研究无论从理论还是应用方面都是很有意义的。

1 主要定理

有关Euler和的计算，早些Euler采用的留数法仍然是最有效的方法之一，即下面的引理。

引理 （Cauchy，Lindelöf） 设ζ（s）是核函数，r（s）是有理函数且在无穷远处具有O（s－2）.那么，

其中：S是r（s）的极点；O是ξ（s）的极点且不含有r（s）的极点；Res（h（s））｜s＝λ表示h（s）在s＝λ处的留数。

我们引入的核函数

其中z是单位圆上的复数。Ψ（s，z）的极点是0，1，2，…，且在极点处的幂级数展开式

其中

是多项式对数函数。由（6）我们可以得到

和

最后我们还需要下面的展开

其中，ζ（n），η（n）＝ （1－21－n）ζ（n）分别是黎曼Zeta函数和η函数。

利用引理和（10）－（12）我们就得到了下面的两个定理。

定理1 如果整数q≥2，那么

定理2 如果整数q≥2，p≥2，那么

定理1，2的证明 这两个定理证明的关键是留数的计算，因此我们只证明式（18），其它证明完全类似。简单计算可知留数为

将式（7）和式（8）代入上式并利用引理可知（18）成立。

2 定理的应用

本文的特点是由于我们引进了含有参数的基本核函数式（5），把许多Euler和的计算问题统一起来讨论，通过选取不同的参数z，得到各种扩展的Euler和。为了说明我们给出结果的有效性，讨论一些特殊参数z对应的Euler和。让式（13）—（19）中z＝1，就得到了通常Euler和的结果，这些结果可以见文献［2，4］。不过我们将式（16）对应的结果写出来

其中，w＝p＋q是奇数。由于（20）式的右边都是黎曼Zeta函数的代数和，我们把它称为第一闭形式。例如（1）就是闭形式。如果Euler和能用多项式对数函数Lin（z）和特殊常数表示，我们把它称为第二闭形式。例如（3）和（13）都是第二闭形式。对于许多积分和Euler和人们希望得到这两种闭形式，这也是目前人们研究的一个热点。特别当z＝±1时，（13）就是第一闭形式，即

在式（14）中，让z＝－1，我们有

将式（21）和式（24）代入到式（22）和式（23）中，我们得到

下面我们考虑一些新的Euler和，首先设整数P，Q是不可约的，那么

其中，ζ（q，a），η（q，a））是黎曼zeta函数和η函数的推广，前者通常称为Hurwitz Zeta函数，它们的定义是

在式（13）中让z＝eQPπi（整数P，Q是不可约的），利用式（27）我们可以得到下面扩展Euler和的恒等式。

1）当P为偶数时，

2）当P为奇数时，

完全类似地，从式（14）－式（19）也可以得到其他新的扩展Euler和的恒等式。因篇幅所限，不再举例。

3 结论

通过引进含有参数的Euler和，将各种Euler和统一起来讨论；通过适当选取参数可以得到许多新的Euler和。本文应用Cauchy和Lindeöf定理仍然是解决Euler型和的重要手段之一，关键是核函数的构造。我们引进含有参数Z的基本函数Ψ（S，Z）是本文的另一创新点。由于合理地选取构造核函数的基本函数 ，因而解决了含有参数的线性和非线性Euler和的Zeta函数和Hurwitz Zeta函 数表示问题。

［1］ David Borwein，Jonathan M Borwein.On an Intriguing Integral and Some Series Related toζ（4）［J］.Proceedings of the A-merican Mathematical Society，1995，123（4）：1191-1198.

［2］ Philippe Flajolet，Bruno Salvy，Euler Sums and Contour Integral Representations［J］.Experimental Mathematics，1998，7（1）：15-35.

［3］ 商妮娜，秦惠增.一类扩展Euler和的表示问题［J］.纯粹数学与应用数学，2011（6）：730-741.

［4］ David Borwein，Jonathan M Borwein，Roland Girgensohn.Explicit Evaluation of Euler Sums［J］.Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，1995，38，277-294.