晋慧峰，张明学

（太原理工大学 数学学院，太原030024）

关于古典Euler和以及推广的Euler和的计算一直是人们关注的问题。在文献［1］中，Borwein给出了如下结果：

之后，Philippe等人［2］利用留数定理考虑了更一般的Euler和

其中，整数p，q≥1，p＋q为奇数，然而对于下面交错Euler和的计算却比较困难。David Bailey利用PSLQ方法得到如下结果

其中z是复平面单位圆上的复数。值得注意的是各种Euler和在量子力学中有着重要的应用，因此本文的研究无论从理论还是应用方面都是很有意义的。

1 主要定理

有关Euler和的计算，早些Euler采用的留数法仍然是最有效的方法之一，即下面的引理。

引理 （Cauchy，Lindelöf） 设ζ（s）是核函数，r（s）是有理函数且在无穷远处具有O（s－2）.那么，

其中：S是r（s）的极点；O是ξ（s）的极点且不含有r（s）的极点；Res（h（s））｜s＝λ表示h（s）在s＝λ处的留数。

我们引入的核函数

其中z是单位圆上的复数。Ψ（s，z）的极点是0，1，2，…，且在极点处的幂级数展开式

其中

是多项式对数函数。由（6）我们可以得到

和

最后我们还需要下面的展开

其中，ζ（n），η（n）＝ （1－21－n）ζ（n）分别是黎曼Zeta函数和η函数。

利用引理和（10）－（12）我们就得到了下面的两个定理。

定理1 如果整数q≥2，那么

定理2 如果整数q≥2，p≥2，那么

定理1，2的证明 这两个定理证明的关键是留数的计算，因此我们只证明式（18），其它证明完全类似。简单计算可知留数为

将式（7）和式（8）代入上式并利用引理可知（18）成立。

2 定理的应用

本文的特点是由于我们引进了含有参数的基本核函数式（5），把许多Euler和的计算问题统一起来讨论，通过选取不同的参数z，得到各种扩展的Euler和。为了说明我们给出结果的有效性，讨论一些特殊参数z对应的Euler和。……