马莉

摘要： 数学的学习是学生的自主建构的过程，无论是数学知识的获得、能力的发展，还是创新精神的形成，都离不开学生的学习反思。反思是一种隐性的教育资源，目前学生的数学学习效果不够理想的原因之一是他们缺乏反思意识和反思习惯。本文明确了培养学生参与思维过程，在反思中提高能力的重要性，重点谈了反思能力在数学教学中的培养模式。

关键词： 高中数学教学参与反思提出问题 评价

学生是课堂活动的主体，更是课堂教学的主角，促使学生参与数学学习的思维过程，才能增强教学的针对性，才能对自己的思维活动进行针对性的反思。荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。英国心理学家贝恩布里奇（R·Bainbridge）说过，差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的。让学生学会反思，可以使学生自行调节学习策略，选择学习方法，有利于提高学习质量。更重要的是，还可以培养学生自我调控的意识和能力，增强学生的主体意识，加强学生学习的自觉性和责任感。

我提出的反思性学习是以学生的参与为基础，以问题为载体，通过学生“实验、观察、猜想、类比、归纳、讨论、应用”等活动，以“学会学习”为目的，既关注思维的结果,更关注思维过程，反思性学习不仅要完成学习的任务，而且使学生的理性思维得到发展。

一、引导学生参与数学课堂教学活动

著名教育家陶行知先生说：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。”要改变传统的“学生被老师牵着走”的做法，真正让学生主动、自觉地参与数学课堂教学活动，才有可能对学习行为进行反思。

（一）强化反思意识和动力

由于数学知识的抽象性，使得数学学习很容易产生困难，根据问卷调查，百分之七十八的同学都觉得自己的数学学习存在困难，没有自信。如果没有强大的精神动力，即使意识到学习中存在的困难，也不能克服，或者暂时克服了而不能坚持。调查发现学生学习数学的主要动力是考上一所好的大学，而要考上好的大学，数学是一门很关键的学科。通过教育，学生把长远目标和近期目标结合起来，为自己设定一个近期的目标，强化学习的动力，增强数学学习的反思意识和行为。

（二）分层教学使每个学生都参与其中

每个人的思维能力是有差异的，教学中要深入了解学情，掌握大多数学生的认知水平和认知能力。比如，新授课中，选择恰当的教学起点，只有教学起点适合或略高于学生的认知水平、认知能力，才能激发学生的参与欲望。习题课中，通过题组程序教学法，从再现组、巩固组，逐步过渡到提高组、拓展组，使中差生能听懂，优等生能弄通。

案例1：（必修一：基本初等函数）

如二次函数学了后，学生对其单调性有了一定认识，那么在复习时，就可以提这样的问题：

（1）已知f（x）=x-ax+2在（-∞，1］上单调递减，那么a的取值范围是什么？

这一设问是在已知区与最近发展区的结点上，学生会主动地去探索问题，等问题解决了，再进一步追问：

（2）改函数为f（x）=lg（x-ax+2）又如何？学生在新的已知区上又进行新的思考，当（2）也解决了，再问：

（3）如果改已知函数为f（x）=log（x-ax+2）又如何？

这个问题虽难度比较大，但由于是在新的已知区和最近发展的交汇点上进行的提问，由（1）到（3），层层递进，问题也马上得到了解决。这样的提问恰到好处，学生“跳一跳能够得着果子”。这必将能激发学生积极主动地探求新知识，使新旧知识发生相互作用，产生有机联系的知识结构。

（三）创设“学生被问题牵着走”的情境和程序

问题的设计是为了有利于学生的自主探究，因此课堂上的有效提问才能提高学生的参与性及参与的深度。在实际的教学中，我尝试了以问题链的形式贯穿于课堂教学中。

（1）在新旧知识的结合处设计问题；

（2）在激发学生的好奇心，求知欲和积极的思维处设计问题；

（3）在学生的思维受阻处设计问题；

（4）在学生所遇疑难之处设计问题。

这一系列问题成为学生“跳一跳能摘到的果子”，充分发挥了学生的自主探究的热情，以问题链为载体实现了学生的参与性。教师课堂提问应该注意的是，问题必须有启发性，能激活学生思维，必须深浅适度，问在学生知识和能力的最近发展区内，而且要面向全体，尽可能让每位同学有所思，有所得。

案例2：比如在正弦定理的教学中：

问题情境：在建设水口电站闽江桥时，需预先测量桥长AB，于是在江边选取一个测量点C，测得CB=435m，∠CBA=80°，∠BCA=42°。由以上数据，能测算出桥长AB吗？

为了解决这个问题，我提出了一系列的问题。

问题1：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？

生：……“大角对大边，大边对大角”。

问题2：“a＞b＞c←→A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？

问题3：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？

生：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出a/sinA=b/sinB=c/sinC。

问题4：这一关系式是否在任一三角形中成立呢？如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？

生：直角三角形ABC中，==成立。

问题5：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示“a与sinA、b与sinB”的关系呢？

问题6：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

问题7：能否引入向量，归结为向量运算？

（1）图中蕴涵哪些向量关系式？

（2）如何将向量关系转化为数量关系？（施以什么运算）

生：施以数量积运算。

（3）可取与哪些向量的数量积运算？

（四）在教师的缄默下实现学生的参与

在课堂教学中，教师往往容易犯一个通病，就是留给学生思考的时间太少。说是让学生考虑，可不到一分钟，就开始“启发”、“分析”，而此刻，学生连题目都还没有看完，更别说审清题意，当然也没有自己的思维。有的虽然留有时间，但是学生刚刚开始思考就被打断，只好停下来听老师讲。

学校提出“课堂45分钟分段式模块教学”这一先进理念，其中最具特色的就是旗帜鲜明地强调在每一个教学段落中必须预设在教师缄默的情境下学生自主学习活动时间，而且总体时间不能少于20—25分钟，充分体现了把时间还给学生的理念。我在提出这一理念后就一直在课堂上实行，虽然不能说每堂课都能保证缄默的时间，但是每堂课都能刻意多留给学生一点时间去思考。努力做到“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也”，意思是“不到学生努力想弄明白但仍然想不透的程度不要去开导他；不到学生心里明白却不能完善表达出来的程度不要去启发他。如果他不能举一反三，就不要先往下进行了”。

缄默就像一幅画当中的空白，有了这些空白，这幅画才显得比较和谐平衡，让人更具有想象的空间。缄默不仅是一种方式，更是一种艺术。

二、注重思维过程的反思性学习

（一）向学生要思维过程

数学教学不应该是只讲结果的教学，而应该是讲过程的教学。暴露学生的思维过程最好的方法是板演。

案例3：已知函数f（x）=2ax-x，x∈（0，1］，（a＞0），若f（x）在（0，1］上是增函数，求a的取值范围.

学生：由题意，得f′（x）=2a-3x，且f（x）在（0，1］上是增函数，

∴f′（x）＞0在（0，1］上恒成立，∴2a＞3x，即a＞x，

又∵x∈（0，1］，∴x∈（0，］，即a＞.

分析：当a=时，f（x）=3x-x在（0，1］上也是增函数，漏解a=的情况，故出错.

正解：由题意，得f′（x）=2a-3x，且f（x）在（0，1］上是增函数，

∴f′（x）≥0在（0，1］上恒成立，∴2a≥3x，即a≥x，

又∵x∈（0，1］，∴x∈（0，］，即a≥.

点评：当f′（x）＞0时，可导函数的单调递增区间，反之，若f（x）在区间D上为增函数，则应f′（x）≥0在区间D上恒成立，在解题时，往往易漏等号，造成错解.在板演的过程中，充分暴露学生的思维漏洞，有利于学生形成视觉上的直观冲击，印象深刻。

（二）向学生展示自己的思维过程

在教学过程中，教师要保证缄默的时间。当然也不是越多越好，也不是教师什么都不讲，过犹不及，关键是在于把握一个度，适时介入。比如问问学生：做完了吗？有不会做的吗？哪里遇到了困难？教师是需要讲的，是需要教学生的，要教学生如何去学的。所以课堂上，教师需要展示自己的思维过程，给学生做示范，暴露自己的解决问题的思维过程。但是往往教师所谓的“分析”也只是把题目做了一遍，根本没有启发学生的思维。比如：为什么这么想？这个问题的本质是什么？这类问题的通法通解是什么？有哪些途径？哪个更具有一般性？关键点在哪里？自己打算如何去解？解题过程中如何防范和克服差错？问题涉及哪些知识和思想方法？过程可否优化？

案例4：已知命题p：函数y=log（x-2ax+3a-2）的定义域为R；

命题q：方程ax+2x+1=0有两个不相等的负数根，若p∨q是真命题，求a的取值范围．

解法一：p真q假，p假q真，p真q真，然后求它们的并集.

解法二：因为p、q至少有一个为真，其反面就是p，q均为假命题，若p假，则a≥2或a≤1，若q假，则a≥1或a≤0.若p，q都为假，得a≥2或a≤0或a=1.所以p∨q为真命题时，解得0＜a＜1或1＜a＜2.

解法三：“p或q”是真命题，即p，q至少有一个为真命题，即p真或q真，“或”字联系到集合，就是集合中并的运算，故只需求p真，q真时a的范围的并集.

大部分同学（65%）采用了第一种解法，小部分（24%）同学采用了第二种做法，只有几个（11%）同学采用了第三种解法.交流的过程中，学生对于第三种解法只是惊叹而不知其所以然，通过教师展示自己的思维过程，才知道“p或q”真中的“或”就是逻辑连接词“或”，因而联系到集合，只需求p真和q真的并集.

案例5：比如在高一求函数最值的教学中我举了以下的例子：

求函数y=4+2-1的最小值.

学生很快就想到用换元法，若设t=2，此题变换为y=t+2t-1=（t+1）-2，

当t=-1时，函数有最小值-2.

全班同学都洋洋得意，认为太完美了，三下五除二就完成了。当问到t的范围时，有些同学开始思索并有觉悟，大部分同学觉得迷惘。这里的t等于2，必定大于0，故不能取到-1，所以这个函数没有最小值。全班彻悟：换元法是一种替换，但是不是等价替换，还必须注意到它们之间范围的区别。

在与同学、教师的思维交流和对接的过程中，学生反思自己的思维，并把更优的思维同化到自己的思维中，从而提升了自己的思维。

（三）引导学生在解题教学中进行反思性学习

著名数学家波利亚在《怎样解题》中将数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟订计划→实现计划→回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次地建构。解完一道题后不能停留在满足所得出的结论上，教学生学会自我提问是培养学生反思能力的重要方法。这种方法适用于学习过程中。诸如“怎样做”，“为什么这样做”，“可以用几种方法做”，“哪一种方法更简便”，“错在哪里”，“为什么错”等自我提问，可以促进学习主体更深层次地思考。其次，在解完一道题后可引导学生反思此类问题有无规律可循，或改变条件或结论，以探索新命题，即进行变式教学。通过多题一解、一题多解、一题多变、一法多用的变式教学，学生能够掌握解决一类问题的方法、深刻了解各知识点之间的联系，促使学生反思解题规律，做到举一反三，触类旁通。最后，还需引导学生思考：解题结果是否合理？解题过程有没有漏洞？这样，不仅能巩固知识，减少解题的错误，更重要的是发展思维，培养探索能力，引发再创造。

1.利用一题多解，发展学生发散思维能力和创造思维能力。

案例6：设M是三角形ABC内一点，且三角形ABC的面积是1，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三角形ABC，三角形MBC，三角形MCA的面积，若f（M）=（1，x，y），则+的最小值为.

学生A：因为x+y=1≥2，所以xy≤，

而+≥2=≥2，（*）

所以+有最小值2.

教师：基本不等式≤在用时要注意哪几个条件？

学生根据反思“一正二定三相等”的三个条件，知道出错的原因是（*）中两个等号不能同时取到.

学生B：因为x+y=1，设x=cosθ，y=sinθ，θ∈（0，），

则+=+=…

教师：利用三角换元，不错！谁能继续？

学生C：因为x+y=1，设1+3x=t，

+=+==…

教师：想到换元，非常好！谁来继续？

学生D：因为x+y=1，设1+3x=t，

+=+==≥=9，

当且仅当t=，即t=2，x=，y=时有最小值9.

学生E：因为x+y=1，

+=（+）（x+y）=5++≥5+2=9，

当且仅当=，即x=，y=时有最小值9.

教师：不错，巧用“1”的代换，创造性地使用了基本不等式的条件，使问题很快得到了解决。

学生F：+=+=+

=5++≥5+2=9

当且仅当=，即sinθ=，即x=，y=时有最小值9.

在学生尝试的过程中，教师没有急着去“启发”，“点破”，而是顺应学生的思维，充分展现了学生的思维过程。通过一题多解的探索，促使学生展开思维广泛联想，同时有利于学生对基础知识、基本方法的融会贯通。这时，由于学生有了亲身经历，教师再从中点评，提炼知识、方法、思想，比教师单纯地讲解效果当然要好得多。学生也从中体会到最优的解法，优化了自己的思维。

2.充分应用变式提升学生的思维层次。

在概念教学时，注重对概念进行变式，也就是通过变换概念的非本质属性来突出概念的本质属性，或者通过“非概念变式”来明确概念的外延。在每个概念教学之后，设置几个小题，对概念进行辨析巩固。

案例6：比如对于对数函数的概念教学，我们设置了如下小题：

①y=2logx，y=log是不是对数函数？

②函数y=logx的定义域是（其中a＞0，a≠1）；

③函数y=log（4-x）的定义域是 （其中a＞0，a≠1）。

解题时运用变式可以培养学生思维的广阔性，思维的广阔性史发散思维的一个特征。思维的狭窄性表现在只知其一不知其二，稍有变化，就不知所云。进行一式多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。

案例7：在高三复习课上，关于求解含参数问题，我设置了变式题组，引导学生的思维步步深入。

已知函数f（x）=（a-）x+ln x（a∈R）

变式题组一：

（1）当a=0时，求f（x）的单调区间.

（2）若f（x）在［1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围.

（3）若f（x）在［1，+∞）上有极值，求a的取值范围.

（4）若f（x）在［1，+∞）上不是单调函数，求a的取值范围.

（5）若f（x）的单调区间为［1，+∞），求a的取值范围.

（6）求f（x）的单调区间.

变式题组二：

（7）求f（x）在［1，e］上的最大值.

（8）若f（x）在［1，e］上的最大值为1，求a的值.

变式题组三：

（9）若f（x）的曲线存在垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

（10）若在区间［1，+∞］上，函数f（x）的图像恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围.

总之，学生通过反思自己的思维过程，可以对自己的思考过程得到元认知的洞察力。因此，坚持让学生自己独立思考，强调随时对思维过程进行反思，是增强课堂教学效果、发展学生学习能力的关键措施。及时地提供反馈信息，启发学生根据反馈信息，不断地进行反思，从而使学生在各个不同的程度上了解自己学习新知识的方法和掌握新知识的程度，促进多数学生及时采取补救措施，全面提高教学质量。在“反思”的教学中，教师上课不再是“一言堂”，而是常常让学生参与，让学生发表见解，因而学生的主体性得到很好的体现。教师在聆听中，经常得到启迪，诱发教学反思，进而不断地改进教法，增强教学的有效性。

参考文献：

［1］斯滕伯格.培养反思力.北京：中国轻工业出版社.

［2］中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（试验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001.

［3］林婷.培养学生反思能力，提高课堂教学有效性.数学通报，2009.2.

［4］波利亚.怎样解题.北京：科学出版社，1982.