戴凌燕

【摘要】本文介绍了小波分析的产生与发展，并就其原理和数学描述给给出了说明，进一步说明了小波分析在消除噪声方面的应用原理与方法，着重进行了非平稳信号小区噪声的研究，进行了算法研究和仿真实验。

【关键词】小波分析；小波去噪；非平稳信号；matlab仿真

Abstract：This paper describes the emergence and development of wavelet analysis, and its principle and mathematical description was given instructions, further illustrates the application principles and methods of wavelet analysis to eliminate noise, this paper focus on the residential noise of non-stationary signals study, carried out the algorithm and simulation results.Key words: wavelet analysis; wavelet denoising; non-stationary signals; matlab simulation

中图分类号：O29 文献标识码： A 文章编号：

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意細节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。

一、小波分析原理及其数学描述

小波分析是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时问和率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率较低的时间分辨率，即在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨使小波变换具有对信号的自适应性。

二、小波去噪原理

运用小波的多分辨分析特性进行信号、图像的去噪处理是小波分析的重要应用之一。

在实际工程中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。

小波阈值去噪的处理方法一般有以下三种：

1）强制去噪处理。该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为零，即基于小波分析的车牌识别系统研究把高频部分全部滤掉，然后在对信号进行重构处理；这种方法比较简单，重构后的去噪信号也比较平滑，但容易丢失信号的有用成分；

2）阈值去噪处理。该方法利用ddencmp函数产生信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行去噪处理；

3）给定软（或硬）阈值去噪处理，阈值往往可以通过经验公式获得，而且这种阈值比默认阈值更具有可信度。

三 、小波去噪的研究

噪声通常被认为是有害信号，一般情况下应被抑制，然而，噪声中也可能包含许多有用信息，如机电一体化设备运行中所产生的噪声，就在一定程度上包含了反映其工作情况，状态信息或参数等内容，因为这些设备在运行时，其中力、速度、加速度的变化以及振动的振幅、频率等信息都会以噪声的形式表现出来。如果能采集、记录到这样的噪声信号并对其进行必要的处理，就能从中提取到机电设备的工作情况、状态参数等重要信息，还能以此作为我们对其进行监控的手段之一。利用噪声信号中的有用信息进行机电设备的故障诊断或状态监控，关键之处就是要对它进行合适的处理，因为在生产现场所采集到的噪声信号非常繁杂且数据量很大，这其中有不少是无用数据，若不进行处理的话，很难获得我们想要的信息。在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平衡的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要作信号的预处理，将信号的噪声部分去除，提取有用信号。对这种信号的消噪，传统的傅里叶变换显得无能为力，因为傅里叶分析是将信号完全在频率域中进行的，它不能给出信号在某个时间点上的信号变化情况。而小波分析由于能同时在时、频域中对信号进行分析，所以它能有效地区分信号中的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。

1、小波分析用于降噪的过程

小波分析用于降噪的过程，可细分为如下几段。

1）分析过程：选定一种小波，对信号进行N层小波（小波包）分解；

2）作用阈值过程：对分解得到的各层系数选择一个阈值，并对细节系数作用软阈值处理；

3）重建过程：降处理后的系数通过小波（小波包）重建恢复原始信号。

这个过程基于下如基本假设，即携带信息的原始信号在频域或小波域的能量相对集中，表现为能量密集区域的信号分析系数的绝对值比较大，而噪声信号的能量谱相对分散，所以其系数的绝对值小，这样我们就可以通过作用阈值的方法过滤掉绝对值小于一定阈值的小波系数，从而达到降噪的效果。

2、用小波分析对非平稳信号消除噪声

在一个方波信号上加入一个高斯白噪声，再将其分别用小波分析和傅里叶变换进行信号噪声消除。

1）小波基的选择：

作为小波的函数，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，但若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面往往只能取一个折中。此外，希望由母小波形成的是两两正交的；进一步希望有高阶的消失矩，希望与相关的滤波器具有线性相位等等。这里选择的是sym小波，又称为正交小波，它是双正交小波，并是紧支撑的，且接近对称（故所用的滤波器可接近于线性相位）。

2）小波多尺度分解各子带系数的特点及噪声影响

对图像的小波变换覆盖了图像频带90%的小波系数集中在21、22、23它们包含了大部分图像信息，所以可以只考虑这三个尺度的信息，而尺度2j> 23 的信息保留在图像的低频分量中。随着层数的增加，小波系数的范围越来越大，说明较低层的小波系数具有更重要的地位。分辨率最低时，该子带小波系数的范围比别的子带小波系数范围宽，值和方差都比别的要大，说明这些小波系数同样具有重要地位。

在各个子带做特征提取之前，应首先考虑图像中噪声对子带系数的影响。根据Donoho 的理论对含噪图像连续做几次小波分解之后，由空间分布不均匀的干净图像所对应的各尺度上小波系数在某些特定的位置有较大的值，这些点对应干净图像的畸变位置和重要信息，而其它大部分位置的值较小；对于白噪声而言，它对应的小波系数在每一尺度上的分布是均匀的，并随着尺度的增加，系数的幅值有所减小。可以看出，噪声的影响主要集中在最高频子带中。因此考虑消噪问题时，可根据噪声小波分解的系数的特点找一个合适阈值λ，把低于λ的小波系数视为主要由噪声引起的设为0，而高于λ的予以保留，对最高频子带可提高阈值以减少噪声影响。

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