邱安洪（清华大学微纳电子系，北京100084）

一种改进的基于当前统计的α-jerk目标机动模型✴

邱安洪
（清华大学微纳电子系，北京100084）

提出了一种改进的基于当前统计的α-jerk目标机动模型，它假设当目标在某一时刻发生机动时，其下一时刻发生机动的取值是有限的。因此它在建立目标机动的运动模型时，就没有必要考虑机动的所有值。为提高对机动目标的位置跟踪精度，采取了在传统α-jerk目标机动模型的基础上增加一项目标机动的均值，即对目标急动进行非零均值建模，并和α-jerk目标模型仿真对比，仿真结果表明，新算法不仅能够实时估计参数α的值，而且与α-jerk目标机动模型相比，其收敛速度更快，对目标位置的状态估计更精确

机动目标跟踪；当前统计α-jerk模型；α-jerk模型；收敛速度；状态估计

1 引言

1960年，Kalman对线性系统的估值问题提出了经典的滤波算法，即Kalman滤波，随后，Kalman滤波在雷达目标跟踪、导航和测绘中得到了广泛的应用。建立目标的运动数学模型是实现Kalman滤波的一个重要环节，也是实现目标精确跟踪的基础。自20世纪70年代后，国内外学者就机动目标建模上提出很多富有效果的模型。如1970年Singer［1］提出的一阶加速度时间相关的Singer模型，1982年Bar-shalom和Birmiwal提出的的含机动检测的机动目标跟踪模型［2］，以及1984年我国学者周宏仁在Singer模型基础上提出的目标机动的当前统计模型［3］。上述文献是在目标的加速度级进行建模。1997年，Mehrotra提出了机动目标跟踪的jerk模型［4］，首次对目标加速度的导数进行建模，扩大了目标建模的阶数，并具有良好的跟踪效果。在这些模型中，对机动时间常数α的取值是预先人为设定的，在缺乏对目标的了解下，会造成误差，而且α可能是时变的。所以文献［5］在jerk模型的基础上对α进行建模，实现α的自适应。

传统的α-jerk目标机动模型对目标jerk的建模是基于零均值模型，该模型假设当前时刻目标jerk的值和上一时刻目标jerk的值不相关，这也就考虑了当前时刻目标jerk取值的所有可能性，而在实际中，常常考虑目标jerk的当前可能性，即当目标现时以某一jerk机动时，其在下一瞬时jerk的取值是有限的，而且只能在“当前”jerk的邻域内，因此，在描述目标jerk的概率密度时，完全没有必要考虑目标jerk的所有可能性。基于上述考虑，本文结合jerk模型对距离的三阶导数进行建模，同时考虑到αjerk目标机动模型［5］采用零均值的缺陷，对目标机动采用非零均值时间相关模型，在α-jerk目标机动模型的基础上增加目标jerk的均值，对改进的目标机动模型和传统α-jerk目标模型进行仿真对比，并结合仿真结果，重点分析两种模型对运动目标位置的跟踪性能。

2 目标机动的非零均值时间相关模型

在文献［4］中，Mehrotra对距离的三阶导数·x·定义为目标的急动（即jerk），并根据Singer的加速度时间相关模型［1］，假设目标的jerk变化是相关的，并且定义目标jerk的相关函数为

根据Wiener-Kolmogorov白化过程，对式（1）中的机动时间相关函数rj（τ）进行Laplace变换，可得

根据成形滤波器理论可知，H（s）是目标机动j（t）的传递函数，W（s）是白噪声W（t）的传递函数。由式（3）和式（4）可得如下方程：

式中，w（t）是零均值白噪声，其相关函数为

由式（5）可知，j（t）表示的是零均值时间相关模型，即为传统α-jerk目标机动模型，然而在实际中，当目标正以某一jerk进行状态变化时，它在下一瞬时的jerk取值范围是有限的，它只能在“当前”jerk的邻域内，因此在描述目标jerk的概率密度时，完全没有必要考虑目标jerk的所有可能性，可以采用修正的机动瑞利密度函数，其均值是“当前”jerk，即jerk的非零均值时间相关模型。其修正的瑞利密度分布函数为

式中，jmax为目标jerk的最大值，j为目标的jerk，u＞0为一常数。在瑞利分布概率密度下，目标jerk的均值为

一般来说，可以预知目标机动的最大值jmax。因此当测得目标jerk的均值时，可以求出

而目标jerk的方差为

可以看出，只要求出目标jerk的均值，就可以相应的获得目标jerk的方差，将此方差代入卡尔曼滤波方程中，即可获得方差自适应滤波算法。

根据估值理论，在所关心的每一目标当前模型情况下，目标jerk的均值¯j就是在观察量y（t）下的条件均值，即状态变量j（t）的最佳线性估计值，所以

由上述可知，机动目标的“当前”统计模型的采用使我们只需要考虑当前具体的目标jerk的概率分布，因此模型会比较准确。而采用修正的瑞利分布则在目标jerk和其均值之间建立了适当的联系，使得自适应滤波算法易于实现。

同时，为了实现参数α的自适应，α可以表示为非零均值白噪声。又有白噪声的导数仍为白噪声，于是˙α可以表示为一零均值白噪声。对α进行建模为˙α=ε（t），其中ε（t）为零均值白噪声。同时ε（t）和w（t）互不相关。则根据式（14）可以得出目标的连续时间状态方程为

K时刻的量测方程为

其中，中，H = [ 10000]；V（K）为零均值白噪声，并且与状态噪声W（t）互不相关。

3 当前统计的α-jerk目标机动模型

对式（16）的连续时间方程进行离散化处理后可得X（k+1）=F（k+1，k）X（k）+U（k）¯j+W（k）（19）

其中：

F（k+1，k）是从tk到tk+1时刻的状态转移矩阵。U（k）是输入矩阵，W（k）是离散后的白噪声向量。¯j为目标状态的预测，其值为¯j=｜k）。

其中：

状态噪声W（K）的协方差为

对于式（21）的状态转移矩阵，当α→0时，说明目标作高速机动，则有

4 仿真分析

为简单起见，在仿真中，我们考虑一维直角坐标的情况。同时，考虑到改进的算法涉及到非线性处理，为提高非线性处理精度，采用UKF（无迹卡尔曼滤波）算法［6］进行滤波。其参数为，采样周期T= 1 s，采样点数为200，量测噪声方差R=10 000m2，输入白噪声ε（t）的标准差为1，目标机动的标准差为σj=0.4，目标的真实运动轨迹如图1所示。

图2和图3中，点划线表示采用传统α-jerk模型的位置估计误差，实线表示本文提出的基于当前统计α-jerk模型的位置估计误差。图2和图3分别为取α=0.1和α=100两种情况，分别对应目标强机动和弱机动情况，从图中可以看出由于两种算法都实现了α的自适应，能够比较精确地跟踪目标的位置。相比于α-jerk目标模型，采用当前统计α-jerk模型的跟踪算法对目标的位置跟踪更加精确，相比于α-jerk目标模型的误差要小，也更加小，收敛速度要快。这是因为改进的目标机动模型。采用了对目标机动的均值估计，使其对目标机动的取值在有限范围内进行预测，滤波误差比α-jerk模型的滤波误差小。仿真结果表明基于当前统计的α-jerk目标模型对目标跟踪更稳定。

5 结论

由于目标在发生机动时，其急动值j（t）的取值范围是一定的，本文采用目标jerk的非零均值时间相关模型，将目标的jerk表示为修正的瑞利-马尔科夫过程，并以此为基础对机动目标进行建模，仿真结果表明，基于当前统计的α-jerk目标机动模型在强机动（α=0.1）和弱机动（α=100）情况下的自适应跟踪性能比α-jerk目标机动模型好，滤波误差小，跟踪精确度高。实际目标的运动形态是在二维或者是三维场景中，往往各维之间相互关联，在进行滤波处理时，需对各维进行解耦合操作，然后在各维分别运用改进的算法进行滤波处理。对高维的目标解耦合是需要进一步研究的内容。

［1］Singer R A.Estimating Optimal Tracking Filter Performance for Manned Maneuvering Targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1970，6（7）：473-483.

［2］Bar-ShaloMY，Birmiwal K.Variable Dimension Filter for Maneuvering Target Tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1982，18（9）：621-630.

［3］Zhou H，Kumar K SP.A“Current”Statistical Model and Adaptive AlgorithMfor Estimating maneuvering Targets［J］. AIAA Journal of Guidance，1984，7（5）：596-602.

［4］Mehrotra K，Mahapatra PR.A Jerk Model for Tracking Highly Maneuvering Targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1997，33（4）：1094-1105.

［5］Luo X B，Wang H Q，LiX.Anα-jerk Model for Tracking Maneuvering Targets［J］.Signal Processing，2007，23（4）：481-484.

［6］朱安福，景占荣，羊彦，等.UKF及其在目标跟踪中的应用［J］.火力与指挥控制，2008，33（8）：27-29. ZHU An-fu，JING Zhan-rong，YANG Yan，et al.UKF and Its Application to Target Tracking［J］.Fire Control＆Command Control，2008，33（8）：27-29.（in Chinese）

An Improved Target Maneuver Model Based on Current-Staticalα-jerk

QIU An-hong
（Institute of Micro-Electronics，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

An improved current-staticalα-jerkmaneuvering targetmodel is proposed.It assumes thatwhen a target ismaneuveringwith a certain jerk atpresent，the region of jerk which can be taken in the next instant is limited.Therefore，it is unnecessary to take all of the jerk values of targets into account during the establishment of statisticalmodel ofmaneuvering.To improve the position accurancy in trackingmaneuvering targets，amean value of jerk is added compared withα-jerk model，that is，modeling the jerk based on the none zero-mean value. The simulation result shows that the proposed algorithMcan adaptively estimate the value of parameterαand convergesmore quickly and has lower estimation error in position compared withα-jerkmaneuvermodel.

maneuvering target tracking；current-staticalα-jerk model；α-jerk model；convergency speed；state estimation

the B.S.degree in 2009.He isnoWa graduate student.His research concerns radar signal processing and embedded system.

1001-893X（2012）11-1832-05

2012-04-26；

2012-06-04

TN953

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.11.025

邱安洪（1986—），男，江西赣州人，2009年获学士学位，现为硕士研究生，主要研究方向为雷达信号处理及嵌入式系统。

Email：myqiu1986＠163.com

QIU An-hong was born in Ganzhou，Jiangxi Province，in 1986.He