罗 威，王绪本，覃庆炎

基于球体层状介质模型的大地电磁正演

罗 威1，王绪本1，覃庆炎2

（1．成都理工大学 地球探测与信息技术教育部重点实验室，四川成都 610059；2．中国煤炭科工集团 西安研究院，西安 710077）

目前大地电磁测深法的一维正演理论，是基于平面波垂直入射水平层状介质的假设模型。但由于地球是一个球体，因此有必要研究基于球状介质模型的大地电磁正演理论。这里详细推导了基于球体层状介质模型的大地电磁正演公式，计算了若干理论模型。通过同基于水平层状介质模型的大地电磁正演结果对比，验证了正演公式的正确性。同时，指出当探测周期增加到上万秒时，阻抗相位会增大；而当探测周期增加到数十万秒时，视电阻率会减小。

大地电磁；球体层状介质；一维正演；视电阻率；阻抗相位

0 前言

大地电磁测深法（Magnetotellurics，简称MT），是从导电性的角度研究地壳和上地幔结构不可缺少的地球物理探测方法，是在二十世纪五十年代初期由Tikhonov［1］和Cagniard［2］分别提出的。

在MT理论基础中，为了保证可行性，同时考虑到地球内部的电磁感应特点，人们做了一系列假设［2、4］。其中最主要的就是平面波垂直入射水平层状介质的假设。Srivastava［3］曾指出，当探测深度或周期达到一定程度后，则有必要考虑地球的球状形态的影响，但并未给出具体的正演推导过程，并且模型的对比分析也不够合理。因此，作者在本文详细推导了基于平面波垂直入射球体层状介质模型的正演公式，通过同基于水平层状介质模型的大地电磁正演结果对比，对地球曲率对MT的影响做了定量分析。

1 基于球体层状介质模型的MT正演公式

目前在MT一维正演理论中，介质模型被假设为水平层状介质（见图1（a））。作者采用球体层状介质模型，图1（b）表示一个n层球状地电断面，各层的电阻率为ρ1、ρ2、…、ρn，每一层上顶面是相对于地心的半径为r1、r2、…、rn的球体层状介质模型。

1．1 平面波入射均匀介质球体的波阻抗

为了研究平面波入射球体层状介质模型的MT正演理论，作者先从最基本的均匀介质球体入手。假设平面电磁波沿z轴入射到半径为a的介质球，如图2所示。

电磁场可以分为相对于球径方向的TM和TE极化波二部分（简称TM波和TE波）。由Maxwell方程组中的▽·H＝0和▽·E＝0及矢量场论可知，任一矢量旋度的散度恒等于零，故我们可以引入磁矢量A和电矢量F：

TM波球径方向的磁场H＝0，矢量磁位仅有球径方向的分量A＝Arer；而TE波球径方向的电场E＝0，则矢量电位为F＝Frer。由此可以导出在Lorentz规范条件下的矢量位方程式（2）。

其中k＝（w2με－iwμσ）1／2为均匀介质球中的复波数。

以TM波为例，在球坐标系中将式（2）展开为式（3）：

将式（3）中的各项同时除以r，利用关系式：

可将式（3）改写成式（5）。

式中 ▽2为三维Laplace算符。

由此可见，（Ar／r）满足齐次标量的Helmholtz方程。对于TE波，则有：

令＝Ar／r＝Fr／r，和分别称为TM波和TE波的Debye位。通过求解方程（5）和方程（6）可得到Debye位，进而得到矢量位，再由矢量位导出电磁场［5］：

展开式（7），即可用Debye位表示出各电磁场分量：

作者在导出Er和Hr的表达式时，再次用到了式（4）。若只存在TM波或TE波时，只需令＝0或＝0。根据方程（5）和方程（6）的通解，可写出Debye位的一般形式：

式（9）中f（r）满足贝塞尔方程：

方程的解f（r）为第一类和第二类n阶Bessel函数，或Hankel函数，或其线性组，）为缔合Lengendre函数。略位移电流（μεω2≪μσω），将Debye位的一般形式代入式（8）中，得到了Srivastava［3］直接引用的公式，即均匀球体内磁场和电场的n次谐波各分量：

其中jn（x）和ηn（x）分别为n阶第一类和第二类球贝塞尔函数；Bηn（kr）表示反射波。

对于均匀球体介质，假设对电磁波全部吸收，即B＝0，则阻抗为：

或：

1．2 平面波入射球体层状介质模型正演公式

从式（13）和式（14）可以看出，阻抗与θ和φ无关，只与f（r）有关。因此球内半径为r处的阻抗为：

为了方便表述正演公式，可做如下假设：

令

对于一个两层同心球体，则在同一层的顶面（r＝r1）和底面（r＝r1）且r2＜r1处，Z1和Z2分别为：

在两个方程中，有相同的待定系数A与B，则可用Z2来表示Z1，可以得到相邻两层之间的阻抗变换关系。把Z2代人Z1中，则有式（19）。

同理，若对于一个n层同心球体，第m层阻抗可由第m＋1层表示，则有式（20）。

最内层的球体表面阻抗与均匀球体介质相同，已由式（13）和式（14）给出。而从底层开始，由式（20）迭代公式可一层一层地向上递推，求出球表面阻抗Z1。

由阻抗可求得球表面视电阻率和阻抗相位：

图3（见下页）为基于球体层状介质模型的MT正演流程图。

2 理论模型算例分析

2．1 均匀球体模型和均匀半空间模型

均匀球体模型和均匀半空间模型如图4（见下页）所示，电阻率设为100Ω·m；均匀球体半径取地球平均半径6 371 km；研究周期范围为从1 s～106s，采用以10为底的对数采样间隔，共61个频点。

见下页，图5中的（a）与（b）分别是二种模型正演结果视电阻率和阻抗相位对比图，其中实线是基于水平层状介质模型的正演结果，虚线是基于球体层状介质模型的正演结果。从图5中可以看出，二种介质模型的视电阻率曲线和阻抗相位曲线，在高频部份完全重合。当周期继续增大，球体层状模型的视电阻率相对水平层状模型，在3 s×105s左右开始分离并降低，阻抗相位在2 s×104s左右开始分离并增大。这说明随着测量周期增大，探测深度越深，地球球状形态的影响就越明显。

2．2 模型二：H型模型

H型介质模型如下页图6所示，第一层厚度为200 km，电阻率取值为5 000Ω·m；第二层厚度为300 km，电阻率取值为100Ω·m；第三层电阻率取值为1 000Ω·m。

见下页，图7中的（a）与（b）分别是H型介质模型正演结果视电阻率和阻抗相位对比图。从图7中可以看出，曲线仍然是在高频部份完全重合。当周期继续增大时，球体层状模型的视电阻率相对水平层状模型，在105s左右开始分离并降低，阻抗相位在104s左右开始分离并增大。

2．3 模型三：HK型模型

HK型介质模型如后面图8所示，第一层厚度为200 km，电阻率取值为2 000Ω·m；第二层厚度为200 km，电阻率取值为100Ω·m；第三层厚度为200 km，电阻率取值为5 000Ω·m；第四层电阻率取值为400Ω·m。

见后面，图9中的（a）与（b）分别是HK型介质模型正演结果视电阻率和阻抗相位对比图。从图9可以看出，对比结果与前面的模型一致，相位曲线的分离周期为一万秒的数量级，视电阻率的分离周期为十万秒数量级。

3 结论与建议

（1）通过平面波垂直入射水平层状介质模型与球体层状介质模型正演结果对比，证明了基于球体层状介质模型正演公式的正确性。

（2）受地球球状形态影响，当探测周期增加到上万秒时，阻抗相位会增大；当探测周期增加到数十万秒时，视电阻率会减小；此时水平层状模型不再适用，应采用球体层状模型。

（3）作者在本文中，只在一维情况下推导了基于平面波入射球体层状介质模型正演公式，可以进一步分析在二维或三维情况下，地球球状形态对MT的影响。

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A

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国家自然科学基金（4084102，40839909，40674035）

2011－10－16改回日期：2011－11－08

1001—1749（2012）04—0384—06

罗威（1988－），男，硕士，主要研究方向：工程与环境地球物理。