罗时荣 左浩毅

（四川大学物理系，四川 成都 610064）

1 引言

转动惯量是物体在绕定轴转动时惯性大小的度量，质量连续分布的物体关于转轴的转动惯量表示为［1～3］

式中，r 是质量元dm 到转轴的距离.利用式（1），选取适当的质量元，可得到一些质量对称分布物体关于某些转轴转动惯量的解析表达式.质量元的选取是式（1）利用的关键，某些物体关于一些对称轴容易选取适当的质量元，但有些物体关于某些对称轴质量元的选取较为困难，比如质量均匀分布的圆柱体关于与其对称中心轴垂直且过称中心的转轴，此时质量元的选取就不是那么容易，在文献［4］中介绍了4 种不同质量元选取方法，基于这4 种方法虽然得到了该物体关于该转轴的转动惯量，但推导过程较为复杂，要用到两重积分知识，而对于学习力学的大一学生积分知识才刚接触，多重积分还很生疏，他们对这4 种方法的理解有一定困难.本文巧妙地将质量均匀分布圆盘选为质量元，利用转动惯量的薄板垂直轴定理和转动惯量平行轴定理，经过简单的推导得到了质量均匀分布的圆柱体关于与其对称中心轴垂直且过对称中心转轴的转动惯量.

2 理论推导

2.1 质量均匀分布的薄圆盘关于一直径转轴的转动惯量

为了求出质量均匀分布的实心圆柱体关于过其对称中心且与对称中心轴垂直的转轴的转动惯量，我们先求出质量均匀分布的薄圆盘关于其直径转轴的转动惯量.

图1 薄圆盘极其转轴示意图

由对称性分析知薄圆盘关于任意直径转轴的转动惯量都相等，据此可知Jx＝Jy.将此等式和Jz表达式代入式（2）得

式（3）表示的转动惯量就是薄圆盘关于任意直径转轴的转动惯量.

2.2 质量均匀分布的实心圆柱体关于过其对称中心且与对称中心轴垂直的转轴的转动惯量

假定质量均匀分布的实心圆柱质量为m，半径为R，长度为L，其对称中心轴为z 轴，x 轴和y轴相互垂直，且过圆柱体对称中心，并与z 轴垂直（如图2所示）.关于图2中x 轴或y 轴的转动惯量就是圆柱体关于过其对称中心且与对称中心轴垂直的转轴的转动惯量，由对称性分析知，圆柱体关于过其对称中心的任意直径轴的转动惯量都相等，所以下面只需求出关于x 轴的转动惯量.为了求出关于x 轴的转动惯量，我们先考查位于z处，厚度为dz的薄圆盘质量元（如图2 所示）关于x轴的转动惯量.如用ρ表示圆柱体的质量体密度，则质量元dm 的质量表示为

图2 圆柱体极其转轴示意图

从质量元与z 轴的交点O1出发作一平行于x 轴的坐标 轴O1x1轴（如 图2 所 示），O1x1轴 就 是 薄圆盘质量元的一直径轴，利用式（3），可写出该质量元对O1x1轴的转动惯量，表示为

利用转动惯量的平行轴定理可将质量元关于x 轴的转动惯量表示为［1～3］

将式（4）、式（5）代入式（6）并对等式两边分别积分得圆柱体关于x 轴的转动惯量，表示为

考虑到圆柱体的质量可表示为m＝ρπR2L，式（7）可化简为

式（8）就是质量均匀分布的实心圆柱体关于过其对称中心且与对称中心轴垂直的转轴的转动惯量的一般表达式.

3 结论

本文将薄圆盘选为质量元，从薄圆盘通过盘心且与盘面垂直转轴的转动惯量表达式出发，利用转动惯量薄板垂直轴定理和转动惯量的平行轴定理，推导得到了实心圆柱体关于过其对称中心且与对称中心轴垂直的转轴的转动惯量的表达式，与文献已有的推导过程相比，该文的推导方法简单，便于学生理解和掌握.

［1］张三慧.大学基础物理学（上册）［M］.北京：清华大学出版社，2003.146～149

［2］马文蔚.物理学（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2006.110～111

［3］王磊.大学物理学（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2009.93～98

［4］史博，张辉，麻晓敏.圆柱体对垂直其中轴并过其中心的转轴转动惯量的几种计算方法［J］.物理与工程，2010，20（5）：67～68