于希梅 毛安君

（淮阴工学院，江苏 淮安 223003）

在力学中经常遇到绳连接多个物体的运动问题，绳的连接提供了一个约束条件，各物体的运动量之间将满足一定的关系式.一般大学物理教材对此类问题往往根据日常经验直接给出各物体间的速度或加速度关系［1］，没有进行严格推导，这种做法在涉及多段绳连接或非惯性系等较复杂问题时容易引起混乱.本文根据运动学的基本公式，应用绳长不变的几何条件，严格推导了各物体满足的运动学公式，并举例说明了该公式的应用.

1 运动学公式

如图1所示，设物体A 和C 用跨过滑轮B 的绳连接，绳不可伸长，对于任意参考系，求A、B、C三者的速度和加速度满足的关系式.

如图，对于任意参考点O，A、B、C三者的位矢分别用rA、rB、rC表示，根据几何关系可知

其中，ΔrAB＝rB－rA；ΔrBC＝rC－rB；l为绳长.因在运动过程中绳长不变，故

图1

为化简上式，考虑任意矢量u对时间t的导数

将该结论应用于式（2）

即先将每段绳连接的两物体的速度之差向该段绳方向上投影，再将各投影求和，则结果为零.该结论很容易推广到N 个物体由（N－1）段绳连接的情况，相应的关系式为

2 应用举例

例1 如图2所示，有人用绳绕过定滑轮拉着物体运动，求人和物体运动速率之间的关系.

图2

解答：将物体、滑轮、人三者分别记为A、B、C，应用式（6），注意到vB＝0，得vAcosθ－vC＝0.

例2 如图3所示，升降机以加速度a加速上升，A 和C两物体质量均为m，由跨过定滑轮B的绳连接，A 所在桌面水平，忽略摩擦力和空气阻力，绳不可伸长，求绳的张力.

图3

解答：要求绳的张力，需根据牛顿第二定律列方程，因升降机为非惯性系，故只能选地面参考系，建立坐标系如图.因运动过程中两段绳的方向不变，应用式（8）可得

即

（aAx-aBx）-（aBy-aCy）=0

考虑到aBx=0，aBy=a，得aAx+aCy=a.其余过程略.

该题一般解法是先以电梯为参考系，得到A、C两物体的加速度关系，再根据相对运动的加速度变换式得到以地面为参考系时两物体的加速度关系，应用公式（8）可直接得到结果，无需对加速度进行参考系间的变换.

例3 如图4所示，已知A、C 两物体的质量均为m，物体A 以加速度a向右运动，忽略滑轮和绳的质量，绳不可伸长，求物体A 与桌面间的摩擦力.

图4

解答：求A、C 两物体的加速度关系，应用式（8）

考虑到aB＝aD＝0，得aA－aC－aC＝0，即aC＝a/2.余下过程从略.

3 总结

本文给出的公式适用于各种绳连接问题.由于推导过程中没有应用力学定律，故结果不受惯性系的限制，适用于所有参考系.另外公式以矢量式表达，不受坐标系的限制，可以根据具体问题方便地写出相应的分量式.如果结合绳受力的形变规律，按照本文思路还可得到变绳长连接的运动学公式.

［1］马文蔚.物理学［M］5版.北京：高等教育出版社，2006.38～39