马维元

(西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州，730030)

Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程主要是为了描述小振幅的长波在非线性耗散媒介中的传播而建立的数学模型，在物理中有着重要的意义，对其进行了大量的研究［1－8］，其初边值问题具体如下:

其中 α，β，γ，T＞0。

K.Omrani等［8］提出了BBMB方程的一种Crank-Nicolson差分格式，但是其求解是通过经典的解非线性方程组的Newton迭代法进行的。众所周知，解非线性方程组的Newton迭代法其求解具有一般性，但是其计算量大，精度也不一定总是很高，因此笔者提出了求解Crank-Nicolson差分格式的一种迭代算法，然后证明了该算法是二阶收敛的，最后通过数值例子说明了笔者所提出的算法是有效的。

1 解Crank-Nicolson差分格式的迭代算法

首先回顾一下K.Omrani在文献［8］提出的Crank-Nicolson差分格式。

通常设J，N为任意正整数，记h=(R－L)/J，τ=T/N分别为空间步长和时间步长。定义空间:

对于v，w∈W，为了方便起见，引入以下记号:

另外，定义φ:W×W→W的双线性函数，具体为(φ(v，w))i=

定义C为广义常数与步长h和τ无关，且常数C可在不同的情况下取到不同的值。对于BBMB方程提出的Crank-Nicolson格式如下:

该差分格式的截断误差为O(h2+τ2)。对于(4)式，可以改写为:

笔者在文献［9］的基础上，提出如下的迭代算法:

其中

2 迭代算法的收敛性

下面证明所提出的迭代算法收敛到差分格式。

定理1 假设方程(1)-(3)的解u(x，t)是充分光滑的，当k和τ充分小时，迭代算法(8)以‖·‖∞范数收敛到Crank-Nicolson差分格式(4)-(6)。

当n=0时，有

当n≥1时，有

从而

当k和τ充分小时，可得

［8］可得

利用(11)式，可得如下的估计式成立

将(12)式带入(10)式，可得

从而

即

可得

因此，迭代算法(8)以‖·‖1，h范数收敛到Crank-Nicolson差分格式(4)-(6)，再利用离散 Soblev不等式［10］，定理1 得证。

3 数值试验

在此考虑以下的初边值问题［1］:

边界条件为

初始条件为

其中α=1，β=12，γ=1。上述问题在(－∞，+∞)上的解为

为了数值试验，将其截断到区间［－50，50］。

取T=10，分别利用笔者所提出的迭代算法(8)和K.Omrani等在文献［8］所提到的利用经典的解非线性方程组的牛顿迭代法求解Crank-Nicolson差分格式。当‖∞＜10－10时，让迭代终止。表1给出了利用牛顿迭代法解BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的误差的收敛率，表2给出了利用迭代算法(8)解BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的误差的收敛率。

表1 牛顿迭代法求解BBMB方程的C-N差分格式的误差的收敛率

表2 迭代算法(8)求解BBMB方程的C-N差分格式的误差的收敛率

通过对比可以看出，在同样的时间步长和空间步长下，笔者所提出的算法误差更小，并且牛顿迭代法并不能验证K.Omrani等在文献［8］所证明的二阶收敛率，而使用笔者所提出的迭代算法则可以很好的验证BBMB方程的Crank-Nicolson差分格式的二阶收敛率。表3中给出了若每步使用相同的迭代次数，两种算法的误差对比，可以看出牛顿迭代法在计算的过程中，损失了很多精度。表4中给出了两种算法的计算时间对比，可以发现迭代算法(8)在计算时间上远优于牛顿迭代法。因此，在求解某些非线性方程的Crank-Nicolson差分格式时，使用笔者所提出的迭代算法优于经典的牛顿迭代法。

表3 当h=τ=0.05时，两种算法的迭代次数与误差对比

表4 当h=τ=0.05时，两种算法的CPU时间比较 s

参考文献:

［1］ WANG M.Exact solution for the Rlw-Burgers equation［J］.Math Appl，1995，8(1):51-55.

［2］ MEIM.Large-time behavior of solution for generalized Benjamin-Bona-Mahony-Burgers Equations［J］.Nonlinear Anal，1998，33(7):699-714.

［3］ ZHANG L.A finite difference scheme for generalized regularized long-wave equation［J］.Appl Math ＆ Comput，2005，168(2):962-972.

［4］ AL-KHALED K，MOMANIS，ALAWNEH A.Approximate wave solutions for generalized Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equations［J］.Appl Math Comput，2005，171(1):281-292.

［5］ OMRANIK.The convergence of the fully discrete Galerkin approximations for the Benjamin-Bona-Mahony(BBM)equation［J］.Appl Math Comput，2006，180(2):614-621.

［6］ FAKHARIA，DOMAIRRY G，EBRAHIMPOUR.Approximate explicit solutions of nonlinear BBMB equations by homotopy analysis method and comparison with the exact solution［J］.Phys Lett A，2007，368(1-2):64-68.

［7］ KADRIT，KHIARIN，ABIDIF，et al.Methods for the Numerical Solution of the Benjamin-Bona-Mahony-Burgers Equation［J］.Numer Meth Partial Diff Eq，2008，24(6):1 501-1 516.

［8］ K OMRANI，MAYADI.Finite difference discretization of the Bejamin-Bona-Mahony-Burgers equation［J］.Numer Meth Partial Diff Eq，2008，24(1):239-248.

［9］ KHIARIN，ACHOURIT，MOHAMED M，et al.Finite difference approximate solutions for the Cahn-Hilliard equation［J］.Numer Meth Partial Diff Eq，2007，23(2):437-455.

［10］ ZHOU Y.Application of Discrete Functional Analysis to the Finite Difference Methods［M］.Beijing:International Academic Publishers，1990:1-43.