（浙江省电力设计院，杭州310012）

输配电技术

概率最优潮流方法及其在无功优化配置中的应用

丘文千

（浙江省电力设计院，杭州310012）

针对电力系统运行中存在的大量不确定因素，探讨概率最优潮流方法及其在无功优化配置中的应用。分析和比较了蒙特卡罗法、半不变量法、点估计法等几类主要概率分析方法及特点，重点介绍点估计法及应用。给出了概率无功优化模型及蒙特卡罗法、半不变量法和点估计法的求解方法，通过实例对各种算法的准确性进行比较，并验证了方法的有效性。

电力系统分析；概率最优潮流；无功优化配置；点估计法

电力系统运行中存在大量的不确定因素，如负荷、功率或发电出力的随机变化，电力设备因随机故障退出运行等。为了掌握这些变化对系统运行状况的影响，在电力系统规划设计和运行方式的研究中需要进行大量的潮流计算，但仍很难全面反映上述情况。概率潮流方法是解决上述问题的有效方法，根据负荷等随机扰动的概率分布获得待求状态量的概率分布函数，可提供更全面的信息。但一般的概率潮流模型中的状态变量是电压相角和幅值，将电源出力等调控因素视为固定不变，缺乏系统应对随机扰动的调控信息。

随着计算机的广泛应用，最优化方法也得以迅速发展，广泛应用于国民经济的各个领域，成为提高生产力和资源利用效率的有效手段，正在发挥越来越大的作用。由于随机因素的影响，在电力系统运行与规划的优化问题中，若不考虑随机因素将无法得出真正意义上的“最优”决策。

概率最优潮流方法是概率潮流方法和最优化方法的发展与结合。本文运用概率最优潮流方法，通过概率无功优化计算获得无功出力应对负荷随机扰动的概率信息，有助于优化无功配置方案。

1 概率潮流方法

概率潮流方法是电力系统稳态运行的宏观统计方法，在一些文献中或称为随机潮流方法。概率潮流计算运用概率统计方法处理系统运行中的随机变化因素，如考虑负荷波动、设备随机故障等，根据这些随机变化因素的概率分布获得状态变量的概率分布函数，如运行电压、支路潮流的概率分布函数等。因此，概率潮流计算比一般潮流计算能更深刻揭示系统运行状况、存在问题与薄弱环节，例如给出电压越限概率和线路过负荷概率等，可以为运行与规划决策提供更完整的信息，从而得到广泛应用。

随着对概率潮流计算方法研究的深入，出现了半不变量法（累积量法）[1]、蒙特卡罗法[2]、一次二阶矩法[3]、点估计法[3-4]等计算方法。

蒙特卡罗法也被称为抽样试验法，通过大规模统计试验获得结果，可直接使用现有的确定性分析计算模型与方法，不需要进行线性化处理和近似，便于处理随机输入量的相关性和设备随机故障等，缺点是计算量较大，为满足计算精度的要求，通常需要进行大量的反复抽样计算。

半不变量法和一次二阶矩法一般以牛顿-拉夫逊法潮流方程的线性关系式为基础。半不变量法利用随机变量的半不变量性质简化随机变量的卷积运算，然后运用Gram-Charlier级数或Edgeworth级数求出随机变量的概率分布。半不变量法通过随机待求量与随机输入量的线性关系，将随机输入量的m阶半不变量变换为随机待求量的m阶半不变量，然后求得随机待求量的概率分布。半不变量法假定随机变量之间相互独立，忽视了实际可能存在的相关性。一次二阶矩法则根据随机输入量与随机待求量的线性关系式，由随机输入量的协方差矩阵求得随机待求量的协方差矩阵，能够计及随机输入量和随机待求量的相关性。线性化近似处理会影响计算的准确性，为提高计算的准确性，一次二阶矩法有几个改进模型[5]，但都增加了模型和计算的复杂性。

与蒙特卡罗法相比，点估计法同样可以在很大程度上利用现有的确定性模型与方法，且计算量大大减少，若系统有n个随机输入量，仅需要进行2n或2n+1次确定性计算就可以获得待求随机量的概率分布信息，与半不变量法和一次二阶矩法相比一般更为准确。近年来在电压稳定分析[6-9]、电力系统稳定分析[10-11]、电力市场竞价交易[12]等方面都有应用。

2 点估计法

点估计法是根据随机输入量的概率分布求取待求随机量各阶矩的概率统计方法。假定X=[X1，…，Xn]T为随机输入量，Y=[Y1，…，Ym]T为待求随机量，简单起见先设X1，…，Xn相互独立，且Y与X的函数关系可表示为Y=f（X）。对Y作泰勒级数展开，用Xk的各阶矩构成r个估计点，对于具有n个随机输入量的系统，点估计法仅需r×n次确定性计算即可获得待求随机量Y的前2r-1阶矩，从而得到Y的概率分布。估计点Xk由以下公式确定：

式中：ξk，j为待定系数；pk，j为Xk的取值点xk，j的权重系数；μk，σk分别为随机量Xk的期望值和标准差；λk，i为随机量Xk的第i阶标准中心矩，即第i阶中心矩Mk，i与标准差σk的i次方的比值。

其中：

式中：h（x）为随机量Xk的概率分布函数。

实际上，点估计法中每个随机变量取值点都不超过3个，即r≤3。当r=2，即成为两点估计法，取值点为每个随机变量均值两侧各确定1个点，每次确定性计算取其中之一，其它随机变量则取其均值。若系统中有n个随机变量，仅需要进行2n次确定性计算。由式（2）和（3）可得：

由于λk，1=0，λk，2=1，联立求解方程式（9）和（10），可得：

当待定系数ξk，j和权重系数pk，j确定后，随机变量Y的i阶矩计算如下：

点估计法中另一称为三点估计法的取值方案是每个随机变量取3个点，分别为均值和均值两侧各1个点，每次确定性计算取其中之一，其它随机变量则取其均值。若系统中有n个随机变量，要求3n次确定性计算，但由于其中n次计算中随机变量取值点都为均值，只需计算1次即可，因此仅需要进行2n+1次确定性计算，故也称为2n+1方案。由式（2）和（3）可得：

联立求解方程式（14）和（15），并将λk，1=0，λk，2=1及ξk，3=0代入，可得：

对于正态分布（高斯分布），λk，3=0，λk，4=3，代入式（19）可知：当n＞3时pk，3＜0。按照文献[4]的解释，点估计法是基于权重的方法，而不是基于概率分布离散化的方法，pk，1，pk，2，pk，3均大于零的要求不一定能满足。一般情况下，由于三点估计法利用了更高阶的随机变量矩信息，计算精度可能会更高一些[7]，[12]。但是三点估计法对随机变量分布特征的要求较高，为使ξk，1和ξk，2为实数解，须满足此外，由于不能满足pk，1， pk，2，pk，3均大于零，还有可能出现E（X2）-[E（X）]2＜0的异常情况。

以上分析是假定随机输入量之间相互独立，如果随机输入量之间具有相关性，可采用矩阵变换方法，即先确定随机输入量协方差矩阵的特征值和特征向量，用正交变换将其转换为一组统计上相互独立的随机变量进行概率分析计算[3]，然后通过逆变换求取待求随机量的协方差矩阵。

3 在无功优化配置中的应用

无功优化模型如下：

式中：X为状态变量，包括无功电源功率Qgi、电压相角θi和幅值Vi；Gij和Bij分别为导纳矩阵元素Yij的实部和虚部，Pgi，Pli和Qli分别为节点i的有功电源功率、负荷有功功率和无功功率，Vi，min和Vi，max分别为节点i的电压下限和上限，Qgi，min和Qgi，max分别为节点i的无功电源功率的下限和上限。

运用函数变换法，式（23）和（24）可通过以下变换式模拟：

代入系统潮流方程式（21）和（22），可得：

对于式（27）和（28），若发生随机扰动（负荷扰动、设备故障等），必然引起无功电源功率、电压相角及幅值也发生变化，可看作是系统对扰动的响应，设其变化量分别为ΔQgi，Δθi，ΔVi（i=1，…，n），将式（21）和（22）展开并略去高次项，可得到以下电源功率及相角、电压与随机扰动之间的线性关系式：

式中：ΔPdi和ΔQdi为随机扰动。

式（20）为优化目标。若以系统网损最小为优化目标，可表示为：

由于无功优化问题中的网内电源有功出力和有功负荷是确定的，系统网损最小等同于平衡节点注入有功功率最小，但后者的目标函数更为简单，可表示为：

式中：Pgb和Plb分别为平衡节点的有功出力和有功负荷。

其它的优化目标还有：

式中：Vi（O）为节点i的标准电压。

构造拉格朗日函数：

最优解存在的必要条件是拉格朗日函数对于所有变量及拉格朗日乘子的偏导数为零，即：

式（39）和（40）为潮流方程，其线性展开式如式（29）和（30），其中的ΔPdi和ΔQdi为随机扰动。由于ΔPdi和ΔQdi作为扰动引入，不是状态变量，其随机变化不改变最优条件（36）-（40）。将式（36）-（38）线性展开，与式（29）和（30）一起构成随机无功配置规划的状态变量与随机扰动的线性关系式，并可表示为矩阵形式：

将式（41）表示为：

可求得：

式中：S0为灵敏度矩阵，ΔW为随机扰动，ΔX=为状态变量，其中Δδ为系统满足电压、功率约束要求条件下由于随机扰动而引起的电源无功功率响应，可据此确定考虑随机扰动所需的无功电源容量。

利用上述模型还可对系统网损受随机扰动影响的波动情况进行估算，由式（31），其线性化表达式为：

由式（41）可求得：

上述线性关系式可用于半不变量法或一次二阶矩法计算。蒙特卡罗法通过对扰动的随机抽样形成一组输入，然后利用确定性无功优化方法[13-14]计算，重复上述过程获得足够的待求随机量统计信息。点估计法则按照式（4）形成2n组（两点估计法）或2n+1组（三点估计法）输入量，然后利用确定性无功优化方法计算，按照式（13）求得待求随机量的概率分布。

4 算例

14节点系统网络及节点参数如表1、表2所示，节点负荷Pdi和Qdi为符合正态分布的随机变量，以Pdi和Qdi为均值，0.1Pdi和0.1Qdi为均方差。规定各节点电压上下限为1.05和0.95（标幺值），概率无功优化配置计算结果示于表3、表4和表5，表中Qi表示节点i的无功出力，正值为容性，负值为感性。为校验概率无功优化配置的正确性，运用蒙特卡罗方法，通过产生服从正态分布的随机数来模拟各节点负荷功率的随机变化，反复进行5 000次潮流计算，以其统计规律作为标准结果。由表可见，半不变量法和点估计法与蒙特卡罗法的计算结果是相符的，点估计法比半不变量法的精度更高。根据不同的控制策略（如电压变化最小，无功补偿设备容量最小或系统线损最小等），通过概率无功优化计算获得的无功出力应对负荷随机扰动的概率统计信息，有助于优化无功配置。显然，为应对负荷等随机扰动的影响，无功配置应有合理裕度。在本算例中，负荷预测误差或随机波动符合正态分布，正态随机量的分布完全由其数学期望值μ和均方差σ所确定，并满足：

式（47）即所谓“3σ规则”，表明正态随机量的值落在区间[μ-3σ，μ+3σ]内是大概率事件，可用来估计随机量的变化范围，选择合理裕度和优化配置。

5 结语

概率最优潮流方法是概率潮流方法和最优化方法的发展与结合。本文运用概率最优潮流方法，根据不同的控制策略，通过概率无功优化计算获得的无功出力应对负荷随机扰动的概率统计信息，可用来优化无功配置。为应对负荷等随机扰动的影响，无功配置应有合理裕度。掌握随机量的概率统计信息，可以估计随机量的变化范围，有助于选择合理裕度和优化配置。

概率最优潮流的求解方法有半不变量法（累积量法）、蒙特卡罗法、一次二阶矩法、点估计法等，其中点估计法可以利用现有的确定性模型与方法，若系统有n个随机输入量，仅需要进行2n或2n＋1次确定性计算就可以获得待求随机量的概率分布信息，与蒙特卡罗法相比计算量大大减少，与半不变量法和一次二阶矩法相比一般更为准确，具有高效、准确的特点，适合工程应用。

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（本文编辑：龚皓）

Probabilistic Optimal Power Flow Method and Its Application in Optimum Reactive Power Allocation

QIU Wen-qian
（Zhejiang Electric Power Design Institute，Hangzhou 310012，China）

In the power system planning and operation，there are lots of uncertain factors.This paper discusses the probabilistic optimal power flow method and its application in optimum reactive power allocation. Through the analysis and comparison of the main kinds of probabilistic analysis methods and their characteristics including the method of monte-carlo，half invariable，point estimate，the paper focuses on the point estimation method and its application.The probabilistic reactive power optimization model and the solution methods of monte-carlo，half invariable，and point estimation are given.By a case study，the accuracies of these methods are compared，and the validities are demonstrated.

power system analysis；probabilistic optimal power flow；reactive power allocation；point estimation method

TM744+.2

：A

：1007-1881（2012）10-0001-06

2012-02-15

丘文千（1952-），男，上海人，硕士，教授级高级工程师，主要从事电力系统规划、设计与技术管理工作。