邵 明 张 蓉

(江苏省清江中学 江苏 淮安 223001)

上海市第24届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试卷的填空题第12题引起了笔者的注意.

题目：如图1所示，直角三角板ABC的边长BC=a，AC=b.开始时AB边靠在y轴上，B与坐标原点O重合.今使A点沿y轴负方向朝O点移动，B点沿x轴正方向移动，可知三角板从图1(a)所示的初始位置到图1(b)所示终止位置的过程中，C点的运动轨迹为____________(选填：“单方向的直线”、“往返的直线”、“一段圆弧”或“非圆弧状的其他曲线”)，C点在此过程中通过的路程为____________.

图1

1 论证

1.1 用平面几何推证C点的轨迹

图2

直角三角板上C点在此过程中通过的路程为

1.2 用解析几何推导C点的轨迹方程

设直角三角板的∠A=α，∠B=β(其中α、β均为定值，且均小于90°).图3为直角三角板的B点沿x轴正方向移动过程中的某个位置.设C点坐标为(x,y)，并过C点分别向x轴、y轴作垂线，垂足为E，F，如图3所示.很显然，△ACF与△BCE为相似三角形.易知∠ACF=∠BCE，不妨设为θ[直角三角板在图1(a)位置θ=β, 在图1(b)位置时θ=α].则

图3

所以

即

由上面的函数式可知，C点的轨迹为一条过坐标原点的直线.

又因为

由以上分析可判定，C点的运动轨迹为往返的直线.同样亦可求出C点在此过程中通过的路程.

1.3 用几何画板来描绘C点的轨迹

图4

图5

以A，B，C三点为顶点构造三角形，如图6(a)所示.

用鼠标将图中的三个圆周同时选中，将其隐藏.选择B点和C点，由菜单“构造”→“轨迹”(或直接按快捷键“Alt+C+U”)，得到C点随B点移动的轨迹，如图6(b)所示.

图6

从图6(b)中，只能看出C点的运动轨迹是一条直线，但这条轨迹并不能反映出C点的运动是单方向的直线还是往返的直线.在图7(a)中，用鼠标右击C点，选择“追踪交点”就可以直观地看出C点随B点运动的整个过程.图7(b)、(c)、(d)是C点运动过程中的三个主要位置的截图.

图7

2 反思

这道题的主要难点，是对于C点轨迹的判断.从初中生的角度看，比较可行的方法就是用实践手段直接观察.让那个直角三角板上的C点真的动起来，从而看出C点的运动轨迹是一条直线，甚至亦可以看出C点的运动是往返的.

笔者相信命题者的意图并非单纯考查学生的数学推理能力，而同时要综合考查学生的动手能力、创新能力和灵活处理问题的能力.当然此题的情境是一道数学问题；如果问题情境能更贴近物理学科，贴近生活实际就更好了.

参考文献

1 朱亚.利用“几何画板”解决物理疑难问题.物理教师,2007(04): 40～41

2 邵明.设计物理实验方案时应遵循的原则.湖南中学物理,2011(07):41～44