樊 杰

(江苏省赣榆高级中学 江苏 连云港 222100)

带电粒子通常在电场、磁场、重力场中的三者或其中任意两者共存的场中运动，而带电粒子在上述复合场中要做匀速圆周运动时，由于物体做匀速圆周运动的条件是所受合外力大小恒定，方向时刻和速度方向垂直，这是任何几个恒力和某一变力无法合成实现的，只有洛伦兹力可满足该条件；也就是说，电荷在上述复合场中或某一方向上如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零或使洛伦兹力的一分力和某一恒力平衡，才能实现物体做匀速圆周运动或某一方向上做匀速圆周运动．下面通过两个典型的实例谈谈这类问题的处理方法，以期达到举一反三之效．

【例1】如图1(a)所示，水平放置的金属板M，N之间存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板间距离d=0.3 m，电场强度E=500 V/m，磁感应强度B=100 T．M板上有一小孔P，在P正上方h=5 cm处的O点，一带电油滴自由下落，穿过小孔后进入两板间，最后落在N板上的Q点．如果油滴的质量m=10-4kg，带电荷量q=2×10-6C，求Q,O两点的水平距离．(g取10 m/s2)

图1

解析：油滴自由下落，进入两板间电场、磁场时的初速度为

油滴进入电、磁场后，受力情况如图1(b)所示，由题意可得，重力mg=10-3N，电场力F电=10-3N，所以F电=mg.

带电油滴进入两极板间，受电场力与重力平衡，在磁场力的作用下，做匀速圆周运动落在Q点．设圆周半径为R，则

解得

设O,Q两点的水平距离为x，如图1(b)所示，由几何关系得

d2+(R-x)2=R2

代入数据解得x=0.1 m.

点评：电场力与重力平衡的隐含条件以及洛伦兹力提供做匀速圆周运动的向心力，是解决本题的关键和突破口．

(1)该带电粒子离开区域Ⅰ时的速度；

(2)该带电粒子离开区域Ⅱ时的速度；

(3)为使该带电粒子还能回到区域Ⅰ的上边缘，区域Ⅲ的宽度d3应满足的条件；

(4)该带电粒子第一次回到区域Ⅰ的上边缘时离开A点的距离．

图2

解析：为研究方便，建立如图3所示坐标系.

图3

方向沿y轴正向．

(2)带电粒子在区域Ⅱ内运动时，只受洛伦兹力，且不做功，所以带电粒子离开区域Ⅱ时的速度大小仍为v=2×104m/s.

速度方向：由图3中几何关系可知

所以带电粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与x轴正向夹45°．

(3)如果将带电粒子离开区域Ⅱ也即进入区域Ⅲ时的速度分解成vx和vy，则有

所以B2qvx=B2qvy=1.28×10-17N，B2qvx方向沿y轴反向，B2qvy方向沿x轴正向，又因E2q=1.28×10-17N，方向沿y轴正向，即E2q与B2qvx抵消．所以带电粒子在区域Ⅲ中运动可视为沿x轴正向的速度为vx的匀速直线运动和以速率为vy以及对应洛伦兹力B2qvy作为向心力的匀速圆周运动的叠加．轨迹如图3所示．圆周运动半径为

周期

所以只要带电粒子运动到轨迹最低点C时不出区域Ⅲ，就可回到区域Ⅰ的上边缘．所以区域Ⅲ的宽度应满足d3>h.

所以

d3>10 cm

(4)根据运动的对称性可知，带电粒子回到区域Ⅰ的上边缘的B点，距A点的距离为

代入数据得

d=57.26 cm

点评：带电粒子在复合场Ⅲ中，受到电场力和洛伦兹力，通过分解进入复合场速度得到竖直方向的洛伦兹力和电场力平衡，带电粒子在区域Ⅲ中运动可视为沿x轴正向的速度为vx的匀速直线运动和以速率为vy以及对应洛伦兹力B2qvy作为向心力的匀速圆周运动的叠加，是解决问题的最关键的一环．

总之，带电粒子复合场中或某一方向上做匀速圆周运动时，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零或使洛伦兹力的一分力和某一恒力平衡才能实现，解题时一定要牢牢把握这一隐含条件．