郑金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

贵刊的《均匀拉伸的橡胶带上任意一点的速度公式》[1]一文，通过高等数学的微积分知识推导出了在任意时刻t橡胶带上各位置x处的对地速度，但没有求出总时间.本文将给出一个数学结论，同时把橡胶带按直线拉伸的过程等效为按圆周扩大的过程，利用等效法和结论对原题作解答，可避免积分过程，且直观简便.

1 数学结论

即

若变量x=f(t)是时间的函数，则式中的常系数τ称为时间常量，其国际单位是s.

2 结论证明

两边积分为

即

可知

则

代入初始条件t=0,x=x0，得C=x∞-x0，所以

由此可见，变量x随时间t按指数规律变化，从理论上看，需要经历无限长的时间才能达到稳态f(t∞)=f(∞).但实际上，因为e-5≈0.006 7≈0，所以可认为当t=5τ时，变量已趋近于稳态值f(∞).这一变化过程称为瞬态过程.从物理上说，上述结论可称为瞬态过程的结论.从数学上说就是关于一阶常系数线性微分方程的结论.

常见的瞬态过程是某一变量随时间呈指数规律变化.而另类瞬态过程则是某一变量随另一个非时间变量呈指数规律变化.

3 结论应用

【原题】[1]一条水平的橡胶带长为L，一端固定在墙上，另一端是自由端．令自由端以速度v0运动而将橡胶带不断地均匀拉长．同时，橡胶带上的一只甲虫从墙开始沿橡胶带向自由端运动，甲虫在橡胶带上的速度始终为u，且u

图1

解析[2]：设想橡胶带围成一个圆周，圆心为O点，橡胶带的起点和终点重合为一点A，如图1．由于橡胶带是均匀伸长的，则圆周随时间……