杨国平

(绍兴市第一中学 浙江 绍兴 312000)

极值问题又叫最值问题，对应于物理变化过程中出现的一种特殊状态(题意中经常会出现“最大”、“最小”、“至少”等字眼).极值类问题常作为竞赛和高考中的难题，为命题者所青睐.就解题的策略而言，通常有数学和物理两种途径.

1 极值问题的数学解法

粗浅地说，解极值问题的过程可分为两步:一是建立模型;二是根据题给条件和相关物理规律，把待求量表述为某种数学形式(如一元二次方程)，然后利用数学手段求解.常涉及到的知识点有以下三个.

1.1 二次函数y = ax2 +bx+c的性质

(1)配方法

a> 0时y有最小值;

a< 0时y有最大值.

【例1】 图1所示为一定质量理想气体的状态变化图，在状态A时的温度为300 K.求气体从状态A沿直线变化到状态B的过程中，能达到的最高温度.

图1

解析:由理想气体状态方程知，气体由状态A变化到待求状态的过程中，有

(1)

又直线AB的数值方程为

p= 4 - 0.5V

(2)

代入得

T= -25V2+200V= -25(V- 4)2+ 400

当V= 4时,Tmax= 400，所以最高温度为400 K .

(2)Δ判别法

要x有解，须有Δ =b2- 4ac≥ 0，从中能得到关于某一物理量的极值.

【例2】 在水平地面上方10 m高处，以20 m/s的初速度沿斜上方抛出一物体.不计空气阻力，g取10 m/s2,求物体的最大射程.

图2

解析:以抛出点为原点，建立直角坐标系xOy，如图2所示.设v0与x轴的夹角为θ，飞行时间为t，有

x=v0cosθ·t

(1)

(2)

联立式(1)、(2)消去参数t，得轨迹方程

代入数据有

要使tanθ有解，据Δ ≥ 0 解得

x2≤2 400 m2

1.2 三角函数的有界性

利用三角函数sinθ,cosθ的有界性(最大值为1)，可求出三角函数的极值以及对应的θ角.通过和差化积、积化和差等手段，最后常常会出现形如

等结果，这样就能确……