基于平面对称光学系统像差理论的折反射全景成像系统优化设计＊

2012-01-21胡肖彦吕丽军

光学仪器 2012年1期

胡肖彦，吕丽军

（上海大学精密机械工程系，上海 200072）

引言

近年来，空间目标探测，机器人导航，安全监控等领域都提出了对空间各方向场景实时成像的要求，满足上述需求的折反射全景成像系统日益受到关注［1］。折反射全景成像系统由常规成像透镜和曲面反射镜组成，能够实时获取水平方向360°和垂直方向一定角度的全景图像。该系统结构相对简单、光能损失低，系统设计柔性好且成本较低，已成为计算机视觉研究的热点［2］。

这类大视场光学系统的光学元件及布置一般是轴对称的，但对于大视场物点成像，光束以大入射角（可能大于80°）打在光学元件表面，经光学系统成像后，子午面和弧矢平面内的聚焦位置和波阵面参数可能完全不一致。因此，这类系统本质上是具有大视场的平面对称光学成像系统。这使得传统近轴球面像差公式及求解手段［3］不适于全景成像系统的设计，目前只能借助于光线追迹软件（例如：Zemax）进行数值分析计算。光线追迹虽然能精确反映光学系统的成像质量，但不能从解析角度分析光学系统参数对其像质的影响，也不能使光学系统设计像共轴系统那样，利用像差分析选定系统的初始参数、洞察系统的设计结果，并且能基于像差表达式发展系统的评价函数和优化设计程序。

最近，吕丽军基于波像差的方法发展了一般的平面对称光学系统的像差理论［4］。它适用于离轴（甚至掠入射）、折射或反射类型光学系统的像差分析。其像差表达式比较简洁，方便应用于多元件光学系统的像差分析和优化设计。对于大视场光学系统，现发展了一种行之有效的优化方法［5］。文中将此优化方法应用于折反射全景成像系统，优化设计这类系统的评价函数［6］，其函数是系统光学参数的解析表达式，利用差分进化算法全局优化的能力，在MatLab环境下发展了大视场光学系统的优化设计程序，对一种折反射全景成像系统结构进行优化设计，最后用Zemax光学追迹软件进行数值验证。

1 评价函数

在平面对称系统像差理论［4］中，光学系统的波像差表达式为

式（1）中，

其中Mijk是物方和像方的波像差系数，它们由文献［4］中相关公式给出。Mijk中rm，rs，r′m，r′s分别为物方和像方空间的子午和弧矢焦距；α是主光线在各光学元件表面的入射角；β是主光线在各光学元件表面的反射角或折射角；l′和l在此类系统中皆为零，具体含义由文献［4］给出。

上述表达式描述了一个光学元件产生的波像差，在计算最终像差时，需要计算的是所有光学成像面产生的波像差之和。故对于g个光学成像面的光学系统，在孔径光线线性近似条件下，其总的波像差表达式为

式（3）中，Wijk（n）分别是第n个成像面和系统总的波像差系数，系数An｜g、Bn｜g由下式得到

在计算像差系数的公式中，Wijk用替代，其他相关光学系统参数是最后成像面的参数。

在平面对于与光学元件顶点相距r′0、并垂直于主光线的像平面，三阶像差表达式为

式（5）中，dijk和hijk为像差系数，φ为像面的倾斜角，表示像面与光轴的倾斜角，具体表达式由文献［5］中相关公式给出。

将上述像差表达式在光束覆盖的区域范围积分就可以得到光束总的像差，其值反映了光学系统的像差质量。此外，影响光学系统成像质量还包括面型误差、色差等。于是，文中定义的评价函数为

其中，Qx（i）、Qy（i）表示光线孔径像差在子午和弧矢方向的均方根值；x′、y′由计算得到，W和L分别为光束在光学系统最后成像面上的覆盖区域中x和y方向上的宽度。Qs（i）是光学元件面形误差对成像的影响；Qc（i）表示色差的贡献，其值是通过追迹F光和C光在像面上的距离差来得到的，具体方法参考文献［3］；εi、μi是相应的权重因子；n表示选择计算的视场角总个数。

2 优化计算程序及算法

计算评价函数值的流程图如图1所示，具体的一些过程解释如下：

（1）光学系统参数赋值：在参量搜索范围内，由优化算法程序给光学系统各参量赋值。

（2）计算最大视场角初值ω＊0：根据高斯公式计算后组物镜的近轴入瞳位置，由入瞳中心做反射镜面的切线，其切线和光轴夹角作为最大视场角的初值。

（3）确定可用的最大视场角：由于优化程序所给的参数具有一定随机性，上一步确定的最大视场角初值范围内的场光线，在追迹场光线过程中，可能会发生全发射或几何阻挡的情况。因此，逐步缩小最大可用视场角，直到不会发生上述两种不合理的情况为止。

图1 评价函数流程图Fig.1 Program flowchart of the merit function

（4）确定任意场光线初始位置：从孔径光阑中心逆向追迹场光线，确定视场角与其位置的关系曲线，应用多项式拟合得到场光线初始位置关于视场角关系的多项式表达式。

（5）计算场光线的光路参数：选定数个优化视场角，计算对应于这些场角的场光线在光路中的参数。

（6）计算像面参考位置：应用像差理论［4］中的子午方向聚焦方程（w200＝0），计算最大和最小优化视场角的场光线所对应的像面位置，两者的平均值作为像面的参考位置。

（7）计算评价函数Q值：应用上一节的方法，运用式（6）计算评价函数值。

由于DE算法［7］在求解非凸、多峰、非线性函数优化问题表现极强的稳健性，把上述评价函数作为目标函数，采用DE算法寻取最优解（评价函数的最小值），实现优化设计。

3 数值验证

图2 折反射全景成像系统总体结构示意图Fig.2 Structure of panorama imaging system

现应用DE算法［8］，在MatLab环境下发展了优化程序。下面将对如图2所示的折反射全景成像系统进行优化设计。它的前组为一个二次圆锥曲面反射镜［9］，它的面形表达式由y2＝a1x＋a2x2表示；后组为改进型的Tessar（天塞）物镜［3］，物镜的结构及光学系统参量表示如图3所示。

在评价函数中，选取5个优化视场角，它们分别为30°、48°、65°、82°、100°，所有权重因子都取1。另外，假定物距为2 000mm；透镜材料的折射率不作为优化参数，只有双胶合透镜的第二片材料是BK3（n＝1.497 8），其余透镜材料全为BK7（n＝1.516 8）；由于反射镜面型较复杂，考虑反射镜面型的倾斜误差为σs＝10arcsec，而后组透镜为球面，相对而言制造精度高，故忽略透镜面形误差对成像的影响。孔径光阑为φ7mm的圆孔。其具体的参数、优化范围和优化结果如表1、表2所示。

图3 折反射全景成像系统后组物镜结构示意图Fig.3 Structure of object lens

表1 后组透镜半径和间距参数Tab.1 Parameters of lens radius and intervals（mm）

所有Ri参数绝对值的搜索范围20～1 000mm，所有di参数的搜索范围2～20mm。此外，在优化程序中，附加了以下几个约束条件：（1）反射镜最大半宽度为60mm，最大视场角不小于110°；（2）像面位置约束：d′l＞0，考虑到CCD的尺寸，在最大视场角处的h′＜5mm。

表2 前组反射镜面形参数Tab.2 Parameters of mirror（mm）

经过优化，参考组和优化结果的评价函数值的倒数分别为27.72和172.59（评价函数越小越好，其倒数越大越好）。为了求证优化前后全景成像光学系统的成像质量，按照表1和表2中的光学参数，应用像差理论［10］和光线追迹程序Zemax计算像面上光线点列图的分布；物点的视场角分别选取25°、45°、65°、85°。点列图如图4所示，（a）、（b）是参考设计分别应用Zemax和像差理论计算的成像结果；（c）、（d）是经过优化程序得到的系统参数分别应用Zemax和像差理论计算的成像结果。结果表明，应用像差理论计算孔径光线像差和Zemax是一致的，说明像差理论的正确性。此外，优化之后的光学系统成像质量明显优于优化之前的，说明这种优化方法是有效的。