彭国荣 隋丽丽

(1.湖北民族学院预科教育学院，湖北 恩施 445000;2.华北科技学院基础部，北京 东燕郊 101601)

2n阶非线性差分方程周期解的存在性①

彭国荣1②隋丽丽2

(1.湖北民族学院预科教育学院，湖北 恩施 445000;2.华北科技学院基础部，北京 东燕郊 101601)

周期解;临界点;非线性差分方程多解性;变分方法

1 引言及主要结果

非线性泛函分析是现代数学的一个重要分支，它为解决当今科技领域中出现的各种非线性问题提供了富有成效的理论工具。在处理实际问题所对应的各种非线性方程中发挥着不可替代的作用。它的基本方法有拓扑度方法、锥与半序理论及变分方法等。

本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，研究2n阶非线性差分方程

周期解的存在性与多重性。其中，Z( a)={ a，a+1，…}， 当 a ≤ b 时，Z (a，b)={a，a+1，…，b}，Δ 是向前差分算子，即 Δxt=xt+1-xt，Δk+1xt=Δ ( Δkxt)。实数序列rt和非线性项f分别满足以下条件:

(A)对给定的正整数 T，rt+T=rt＞0，t∈Z;

(B)f∈C( Z × R1→R1)，并且对任意 ( t，z)∈Z × R1，f( t+T，z)=f( t，z)。

我们的主要结论是:

定理1.1假设满足下列条件:

(2)存在 a＞0，c＞0，使得对任意(t，z)∈Z ×

(3)存在 ρ1＞0，使得当时，F( t，z)＞0

则问题(1.1.1)在ET中至少有两个非零解。

定理1.2假设下列条件满足:

则问题(1.1.1)在ET中有三个不同的解。

2 变分结构

为了应用临界点理论，本节将定义问题(1.1.1)所对应的能量泛函，并讨论其相关性质。首先介绍一些概念和记号。

用S表示一切实数序列x= x{ }

nn∈Z所组成的集合，即

同时也用(…，x-n，x-n+1，…，x-1，x0，x1，x2，…，xn，…)表示 x={xn}n∈Z。对于给定的正整数T，集合ET定义为

则ET为S的线性子空间，并且与RT同构。定义ET上的内积为

由此内积诱导出空间ET上的范数记为:

易证明问题(1.1.1)的周期解等价于J在ET上的临界点。……