何连超

（解放军汽车管理学院，安徽 蚌埠 233011）

有质量弹簧的振动周期探讨

何连超

（解放军汽车管理学院，安徽 蚌埠 233011）

本文讨论了有质量弹簧的弹簧振子的动力学，运用哈密顿函数解出了振子的运动方程，并推导出振动周期与弹簧质量和阻尼的关系.

弹簧质量；振动周期；摩擦阻尼；哈密顿函数

1 引言

在许多物理问题中，为了使所研究的问题简单明了，往往忽略一些次要因素，比如我们在讨论弹簧振子的振动时，忽略了弹簧的质量和摩擦阻力，所以研究出的结果是近似的，但在某些情况下，上述忽略的因素又起着主导作用，故有必要进行研究.

2 忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期

如图1所示，忽略一切阻力，物体m0在弹性回复力F＝－kx的作用下作简谐振动，式中k为弹簧的劲度系数，负号表示力F的方向和位移x的方向相反，其微分方程为

图1

这就是未考虑弹簧质量的弹簧振子的振动周期.

3 考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期

我们假设弹簧是一根质量为m的弹性棒，其自然长度为L，如图2所示，忽略一切阻力.弹性棒的质量是均匀分布的，设棒上任一点到A点的距离为l（0≤l≤L）.

当振子m0产生一个dx的位移时，dm也将发生一个位移.显然dm的位移小于m0产生的位移，因为m0的位移是整个弹性棒L的伸长量，而dm的位移只是弹簧中任一点到固定点A的伸长量，且因0≤l≤L，所以dm的位移必然小于m0的位移dx.

图2

为了简单合理地算出dm的位移，我们假定弹性棒各部分所发生的位移与它们到固定A点的距离l成正比，则