戴振祥， 徐园芬

(1．宁波教育学院 信息与艺术学院，浙江 宁波 315010;2．浙江万里学院 基础学院，浙江 宁波315101)

0 引言

(2+1)-维色散长波方程［1］为

方程(1)是描述水波通过等深、狭长理想运动水道的重要方程，其中u(x，y，t)，v(x，y，t)为所示变量的物理场．文献［2］给出了式(1)的一组广义对称及其李代数结构;文献［3］利用齐次平衡法得到了式(1)的一些精确孤波解;文献［4］给出了式(1)的类孤子解;文献［5］给出了式(1)的孤子解和有理分式解析解;文献［6］利用广义射影Riccati方程得到了精确行波解;文献［7］利用扩展椭圆函数有理展开解法得到了冲击波解和孤立波解．本文将利用平面动力系统方法［8-11］研究该方程行波解的动力学性质，在给定的参数条件下，求出方程(1)新的峰形(谷形)光滑孤立波解和周期波解．

为研究方程(1)的行波解，作如下行波变换:

把式(2)的第1个方程关于ξ积分2次，第2个方程关于ξ积分1次，并取积分常数为0，得

方程(4)等价于系统

并有以下首次积分:

下面的目标是:首先通过定性分析得到系统(5)随参数改变的相图，然后得到方程(1)在参数平面上不同区域内的行波解的精确参数表达式．

1 系统(5)的所有相图

先求系统(5)的平衡点．

设E(φe，0)为系统(5)的任一平衡点，M(φe，0)是系统(5)的线性化系统在该平衡点处的系数矩阵，用 J(φe，0)表示其 Jacobi行列式，经计算得 J(φe，0)= － f'(φe)．由平面动力系统分支理论［8-11］知，作为Hamilton系统(5)的平衡点，当 J＞0(或 J＜0)时，E(φe，0)是中心(或鞍点);当 J=0并且其Poincaré指标为零时，E(φe，0)是尖点．

通过定性分析知，随着参数c，a的改变，系统(5)有如图1、图2所示的相图．

图1 当c＞0时系统(5)的相图

图2 当c＜0时系统(5)的相图

2 方程(1)孤立波、周期波解的存在性和参数表示

根据以上结果和奇非线性行波方程研究的动力系统方法［8］知，下面的结论成立:

定理1 若下列条件之一成立，则方程(1)存在一峰形或谷形光滑孤立波解:

定理2 若下列条件之一成立，则方程(1)存在一族峰形或谷形光滑周期波解:

下面计算方程(1)在不同的参数条件下其光滑孤立波解和周期波解的参数表达式．

(5)的第1个方程得

经计算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的参数表达式为

②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线 H(φ，y)=h(h∈(h2，0))，设参数 r1，r2由

所定义，其中r1＞r2＞φ＞r3＞r4．利用系统(5)的第1个方程得

经计算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的参数表达式为

所定义，其中0＞φ＞r3＞r4．利用系统(5)的第1个方程得

经计算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的参数表达式为

②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(h1，0))，经计算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的参数表达式同式(8)．

所定义，其中r1＞r2＞φ＞φ2．利用系统(5)的第1个方程得

经计算得到方程(1)的峰形光滑孤立波解的参数表达式为

②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(0，h2))，经计算得到方程(1)的峰形光滑周期波解的参数表达式同式(8)．

所定义，其中φ1＞φ＞r3＞r4．利用系统(5)的第1个方程得

经计算得到方程(1)的谷形光滑孤立波解的参数表达式为

②对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(0，h1))，经计算得到方程(1)的谷形光滑周期波解的参数表达式同式(8)．

①对应于系统(5)并由式(6)定义的水平曲线H(φ，y)=h1(H(φ，y)=h2)，经计算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑孤立波解的参数表达式同式(11)(式(10))．

②对应于系统(4)并由式(5)定义的水平曲线H(φ，y)=h(h∈(h2，h1)或h∈(h1，h2))，经计算得到方程(1)的谷形(峰形)光滑周期波解的参数表达式同式(8)．

致谢:衷心感谢浙江师范大学赵晓华教授的指导!

［1］洪宝剑，方国昌，卢殿臣，等．(2+1)维色散长波方程新的类孤子解［J］．数学的实践与认识，2009，39(1):194-197．

［2］Lou S Y．Symmetries and algebras of the integrable dispersive long wave equations in 2+1 dimensional spaces［J］．Phys A，1994，27(2):3235-3243．

［3］Wang Mingliang，Zhou Yubin，Li Zhibin．Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］．Phys Lett A，1996，216(1/2/3/4/5):67-75．

［4］曾昕，张鸿庆．(2+1)维色散长波方程的新的类孤子解［J］．物理学报，2005，54(2):504-510．

［5］闫振亚，张鸿庆．2+1维非线性色散长波方程的相似约化和解析解［J］．数学物理学报，2001，21A(3):384-390．

［6］智红燕，陈勇，张鸿庆．广义射影Riccati方程方法与(2+1)维色散长波方程新的精确行波解［J］．数学物理学报，2005，25A(7):956-964．

［7］向以华，石义霞．(2+1)-维色散长波方程的扩展椭圆函数有理展开解法［J］．数学杂志，2009，29(2):206-210．

［8］Li Jibin，Dai Huihui．On the study of singular nonlinear traveling wave equations:Dynamical system approach［M］．Beijing:Science Press，2007．

［9］李继彬．(2+1)-维广义 Benney-Luke方程的精确行波解［J］．应用数学和力学，2008，29(11):1261-1267．

［10］李继彬．两类Boussinesq方程的行波解分支［J］．中国科学:A数学，2008，38(11):1221-1234．

［11］Li Jibin，Liu Zhengrong．Smooth and non-smooth traveling waves in a nonlinear dispersive equation［J］．Applied Mathematical Modelling，2000，25(1):41-56．