周阳锋， 沈自飞

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

本文研究离散薛定谔系统

基态解的存在性，即使得系统(1)相应的能量泛函取得最小值的解．式(1)中:-Δun=un+1+un-1-2un是一维空间的离散拉普拉斯算子;给定的序列{εn}关于n是k-周期的．研究系统(1)的动机来自于下面的向量值非线性薛定谔方程:

从而对向量值非线性薛定谔方程的研究转换成对方程

的研究，这是一个哈密尔顿型的离散薛定谔系统．考虑

的情形，其中

对离散薛定谔系统的研究引起了不少数学家的兴趣，因为它为很多物理问题提供了一个很好的数学模型［1-2］．文献［3］得到了系统(1)在Ambrosetti-Rabinowitz条件下有无穷多解的结论．

本文主要考虑不含Ambrosetti-Rabinowitz条件时离散系统(1)基态解的存在性问题．假设εn，f，g满足如下条件:

(V0)εn关于n是k-周期的，且0在-Δ+εn的谱间隙中;

(H1)f(n，s)，g(n，s)关于 s∈R 连续，关于 n 是 k-周期的;

(H2)存在 C ＞0，p，q∈(2，+∞)，使得|f(n，s)|≤C(1+|s|p-1)，|g(n，s)|≤C(1+|s|q-1);

(H3)当|s|趋于 0 时，关于 n 一致有 f(n，s)=o(|s|)，g(n，s)=o(|s|);

本文的主要结果是:

定理1 在(V0)和(H1)～(H5)条件下，系统(1)至少有1个基态解．

1 变分框架

在希尔伯特空间E=l2×l2上考虑泛函

式(3)中:(·，·)是普通的 l2内积;A=-Δ + εn;z={zn}={un，vn}∈l2×l2．

为了方便，记l2:=l2×l2，相应地记ls:=ls×ls，s∈(2，+∞)．E 中范数记作‖·‖，显然 Φ(z)是一个在E中定义良好的C1-泛函，系统(1)可以看成泛函Φ相应的Euler-Lagrange方程．

引理 1［3］若{εn}关于 n 是 k-周期的，即 εn+k= εn，则

1)A是有界自伴算子;

2)σ(A)=σe(A)⊂R(-a，a);

3)σ(A)关于0对称，即σ(A)∩(-∞，0)=-σ(A)∩(0，+∞)．

由引理1可知E有如下的正交分解:

其中，E+(E-)是A在E中正(负)谱空间．从而(Az，z)=‖z+‖2-‖z-‖2，泛函(3)可写成

式(4)中

设希尔伯特空间E有正交分解E=N+⊕N-，其中N⊂E是E的一个闭的可分子空间．设z=v+w∈E=N⊕N⊥，满足 v∈N，w∈N⊥．定义|z|2w=|v|2w+‖w‖2．特别地，若 zn=vn+wn有界，zn在|·|w中弱收敛到z，则vn在N中弱收敛到v，wn在E中强收敛到w．记Br(E)={z∈E|‖z‖≤r}，Sr(E)={z∈E|‖z‖ =r};令 E=E+⊕E-，z0∈E+满足‖z0‖ =1，N=Br(E+)⊕E-;设 M:={z=sz0+z-| ‖z‖≤r，s＞0}满足 s0z0∈M，s0＞0;令 Q:={z=sz0+z+|z+∈N⊥，‖z0‖ =s0，s ＞0};Γ:={h|h:［0，1］×M→E}是|·|w-连续的，h(0，z)=z，Φ(h(s，z))≤Φ(z)，∀z∈M．任意(s0，z0)∈［0，1］×M，存在|·|w-邻域U(s0，z0)，使得{z-h(t，z)|(t，z)∈U(s0，z0)∩(［0，1］× M)⊂Efin}．其中，Efin是指 E 的有限维子空间．文献［4］给出的定理在本文的证明中起着重要作用．

引理2［4］记 Φλ(z):=I(z)-λJ(z)∈C1，z∈E，∀λ∈［1，2］，假设:

1)J(z)≥0;

2)若‖z‖→∞，则I(z)→∞或J(z)→∞;

3)Φλ是|·|w-上半连续的，Φ'λ在E上是弱序列连续的，且Φλ将有界集映为有界集;

则对几乎所有 λ∈［1，2］，存在{zn}，使得

其中

2 定理1的证明

考虑

理2 中的条件1)和2)成立．若关于|·|w范数 zm→z，Φλ(zm)≥a，则 z+m→z+，z-m⇀z-，从而 zm，n→zn对几乎所有n∈Z成立．由Fatou引理得Φλ(z)≥a，这意味着Φλ是|·|w-上半连续的．由文献［4］得Φ'λ在E上弱序列连续且Φλ将有界集映为有界集．为了应用引理2，只需验证引理2中的条件4)成立即可．

引理3 在条件(V0)和(H1)～(H5)下，有如下结论成立:

1)存在 ρ＞0，使得 κ:=inf Φλ(S■(E+))＞0;

2)对任意给定的 z0∈B1(E+)，存在 R ＞ ρ＞ 0，使得 sup Φλ(∂M)≤0．

证明 1)不失一般性，不妨假设p＜q．由(H2)知，对任意ε＞0，存在Cε＞0，使得

从而对任意z∈E+，有

这就导出了矛盾，从而1)成立．

由F(n，s)＞0，G(n，s)＞0和 Fatou引理得

这与式(6)矛盾．从而假设不成立．引理3证毕．

应用引理2，可得到如下引理:

引理4 在条件(V0)和(H1)～(H5)下，对几乎所有λ∈［1，2］，存在序列{zm}⊂E，使得

引理5 设条件(V0)和(H1)～(H5)成立，{zm}是(PS)-序列，则下列2个结论中必有1个成立:

1)‖zm‖→0;

2)存在 δ＞0，am∈Z，使得|zm，am|≥δ对 m∈Z 都成立．

证明 由引理4知{zm}在E上有界．假设2)不成立，则对任意 η ＞0，n∈Z，|zm，n|＜η．由Hölder不等式得

由ε的任意性得

从而

因此1)成立．引理5证毕．

引理6 在条件(V0)和(H1)～(H5)下，对几乎所有 λ∈［1，2］，存在 zλ，使得

证明 因为{zm}有界，所以{z+m}有界．由引理5知如下两者必有1个成立:

2)存在δ＞0和am∈Z，使得|z+m，am|≥δ对任意m ∈Z成立．

如果‖z+m‖→0，那么对任意 s∈(2，+∞)，在 ls中有 z+m→0．因为对任意 ε ＞0，存在 Cε＞0，使得|f(n，s)|≤ε|s|+Cε|s|p-1，|g(n，s)|≤ε|s|+Cε|s|p-1，所以由 Hölder不等式得

从而

这意味着zλ是个弱解．由(H5)得

应用Fatou引理，得到

引理6证毕．

引理7 设 u，v，s∈R，s≥ -1 且 w:=su+v≠0，则对 n∈Z，有

证明 类似于文献［5］，故略．

引理8 设zλ是由引理6得到的临界点，则对任意w∈Σ:={szλ+ζ|s≥ -1，ζ=(u，v)∈E-}，w≠0，有 Φλ(zλ+w)＜ Φλ(zλ)．

证明 把Φλ写成如下形式:

因为(Φ'

λ(zλ)，ζ)=0，所以

引理8证毕．

引理9 在条件(V0)和(H1)～(H5)下，存在λm→1和序列{zλm}，使得

当r足够大时，可由此式导出矛盾，从而{am}可以选取为有界序列．由Fatou引理得到

从而当m→+∞时，

这就导出了矛盾，从而可得引理9成立．

引理10 在条件(V0)和(H1)～(H5)下，对 λm→1和序列{zλm}，有

证明 对于 ζ满足‖ζ‖≤1，因为{zλm}有界，所以

从而可得引理10成立．

定理1的证明 因为{zλm}有界，所以下面两者必有1个成立:

1)‖zλm‖→0;

类似可得

所以Φ(z)=C＞0，即z是系统(1)的基态解．定理1证毕．

［1］Ablowitz M，Prinari B，Trubatch A．Discrete and continuous nonlinear Schrödinger system［M］．Cambridge:Cambridge University Press，2004:1-5．

［2］Bruno G，Pankov A，Tverdokhleb Y．On almost-periodic operators in the spaces of sequences［J］．Acta Appl Math，2001，65(3):153-167．

［3］Yang Minbo，Zhao Fukun，Ding Yanheng．Infinitely many stationary solutions of discrete vector nonlinear Schrödinger equation with symmetry［J］．Nonl Anal，2010，215(12):4230-4238．

［4］Schechter M，Zou W．Weak linking theorems and Schrödinger equations with critical Sobolev exponent［J］．ESAIM Control Optim Calc Var，2003，37(9):601-619．

［5］Szulkin A，Weth T．Ground state solutions for some indefinite problems［J］．J Funct Anal，2009，257(12):3802-3822．