孙耀东

(吉林师范大学数学学院,中国 四平 136000)

Powell[1]在20世纪五六十年代做了大量的细菌细胞分裂试验,其研究的细胞分裂过程如下:初始状态由一个母细胞分裂为两个子细胞,之后每一代子细胞都各自分裂为两个下一代子细胞,如记母细胞为X1,则X1分裂为X2和X3，之后X2分裂为X4和X5，X3分裂为X6和X7,以此类推.通过对试验数据分析,子细胞受遗传和环境因素影响，由同一个细胞分裂出来的两个子细胞由于其生长环境接近,环境对它们的影响具有相关性.针对此特点，Cowan与Staudte[2]在经典的自相关模型AR(1)基础上提出分歧自回归模型BAR(1).文献[3～5]进一步分析细胞分裂过程将分歧自回归模型理论不断发展完善,Huggins与Basawa[6]提出分歧ARMA(p,q)模型,Huggins与Basawa[7]讨论了高斯型分歧AR(p)模型,得到了参数的极大似然估计,Basawa与Zhou[8]讨论了非高斯型分歧自回归模型,Zhou与Basawa[9]给出了指数型分歧自回归模型的极大似然估计.

Zhou与Basawa[10]提出分歧泊松模型,模型形式如下：

(1)

其中,Yi，i=1，2，…，为独立同分布随机序列,共同分布为二项分布B(φ1),参数φ1∈(0,1),{(ε2,ε3),(ε4,ε5),(ε6,ε7),…}为独立同分布二维随机序列,表示环境对细胞分裂的影响,其共同分布是

y∧z=min(y,z),参数λ>0,μ>0.

下面主要讨论模型(1)的性质.

1 分歧泊松自回归模型的性质

证记φt(s)，ψ(s)分别为Xt和εt的母函数,|s|≤1.将X1之前的细胞记为X0、X-1、X-2、…,那么(1)可表示成

由引理1的证明有

(2)

令X-∞=Y,对(2)反复迭代有

可以得出

(3)

考虑(3)式第一项

(4)

其中Yi，i=1，2，…，为独立同分布随机序列,共同分布为二项分布B(φ1j).

2 分歧泊松自回归模型的马尔可夫性

定理2任意一条由细胞及其一个子细胞构成的细胞分裂链是不可约……