曾甲生

(湖南商学院信息学院,湖南 长沙 410205)

1 引言

Littlewood-Paley 算子作为分析数学中一个十分重要的积分算子,本文提出了Littlewood-Paley 算子相关联的多线性交换子的概念,并将研究它们在Hardy型空间中的有界性．我们先给出一些记号和定义．

设B=B(x0,r)表示中心为x0半径为r的球．给定B和局部可积函数f,令

称f属于BMO,若f#∈L∞并且定义‖f‖BMO=‖f#‖L∞．

设m为正整数,bj(x)(j=1,…m)为可积函数，对任意的正整数1≤j≤m,我们记

本文将要研究的Littlewood-Paley算子定义如下：

令ε≥0以及确定一个函数φ，满足如下条件：

(2)|φ(x)|≤C(1+|x|)-(n+ε)；

(3)|φ(x+y)-φ(x)|≤C|y|ε(1+|x|)-(n+1+ε)．

设m为正整数，bj(x)(j=1,…m)为可积函数，则由Littlewood-Paley算子和bj(x)生成的多线性交换子定义为：

定义1设m为正整数,bj(x)(j=1,…m),w(x)为可积函数并且w(x)∈A1(即Mw(x)

(i)suppa(x)⊂B=B(x0,r);

有了这两个定义,下节我们将叙述并证明本文的结论．

2 定理及其证明

定理1的证明我们只需证明存在常数C>0，使对任意(w,b)原子a(x)满足

事实上，设a(x)为(w,b)原子，suppa(x)⊂B=B(x0,r),记

设给定q>1,运用Hölder’s不等式，以及Sφ,b(f)(x)的Lq-有界性[5]可得：

又可知

注意到2t+|x0-y|>2t+|x0-x|-|x-y|>t+|x0-x| 当|x-y|

由此可知

所以

对上面的估计，因为w∈A1，w满足逆Hölder’s不等式，对于任意的球Q，和某个1

所以上式会小于或等于

定理1证毕．

在证明定理2之前，首先阐述一个引理[7]：

定理2的证明根据引理，只要证明存在一个常数C，对于任意的w-原子a，suppa(x)⊂B=B(x0,r)，有下式成立,

由

w({x∈(2B)c:Sφ,b(a)(x)>λ})≤w({x∈2B:Sφ,b(a)(x)>λ})+

w({x∈(2B)c:Sφ,b(a)(x)>λ})=Ⅰ+Ⅱ．

对于Ⅰ，根据Sφ,b(a)的Lq(q>1)有界性，可得：

因而，有

与定理1的证明类似，我们可以证得，

对于Ⅱ2，我们同理可得到：

对于Ⅱ3，由Hölder’s不等式，以及μΩ的Lq有界性，我们可得：

合并上述证明过程，可得：

定理2得证.

参考文献：

[1] ALVAREZ J.Continuity properties for linear commutators of Calderon-Zygmund operators[J].Collect Math,1998,49(1):17-31.

[2] GARCIA-CUERRA J.Weighted norm inequalities and related topics[M].Amsterdan:North-Holland Math Studies,1985.

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[4] LIU L Z.Weighted weak type (H1,L1) estimates for commutators of Littlewood-Paley operators[J].Indian J Math,2003,45(1):71-78 .

[5] LIU L Z.Continuity for commutators of Littlewood-Paley operators on certain Hardy spaces[J].J Korean Math Soc,2003,40(1):41-60.

[6] PEREZ C.Sharp weighted estimates for multilinear commutators[J].J London Math Soc,2002,65(4):672-692.

[7] STEIN E M.On convergence of poisson integrals[J].Trans Amer Math Soc,1969,140(1):35-54.