续小磊 (宁夏大学数学计算机学院,宁夏 银川 750021)

续晓欣 (中北大学理学院数学系，山西 太原 030051)

几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛之间的等价条件研究

续小磊 (宁夏大学数学计算机学院,宁夏 银川 750021)

续晓欣 (中北大学理学院数学系，山西 太原 030051)

研究了函数列的近一致收敛、几乎处处收敛和依测度收敛之间的关系，在此基础上给出了它们之间彼此等价的充分必要条件。

测度；可测集；可测函数列；几乎处处收敛；近一致收敛；依测度收敛

可测函数序列的收敛性有很多种，如几乎处处收敛、依测度收敛、依概率收敛、完全收敛、一致收敛、几乎一致收敛、近一致收敛、平均收敛、强收敛和弱收敛等。如此多收敛之间的强弱关系引起了许多测度论学者们的关注[1-6]。其中，几个经典定理，如Egoroff (逆)定理、Lebesgue定理、Riesz定理在测度有限的前提下对几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛做了最基本研究：一致收敛是很强的收敛，在一般情况下很难实现，因而应用大受限制，而处处收敛和几乎处处收敛的条件相对弱一些。

下面，笔者研究了测度有限可测集上几乎处处有限的可测函数列和一般可测集上的几乎处处有限的单调可测函数列几乎处处收敛、近一致收敛和依测度收敛3种收敛之间的等价条件。

1 基本概念

引理1[1]设f和{fn}n≥1都是E上几乎处处有限的可测函数，则：

i){fn}n≥1在E上几乎处处收敛于f,当且仅当对任意的ε>0，有：

ii){fn}n≥1在E上近一致收敛于f,当且仅当对任意的ε>0，有：

引理4[6]设f和{fn}n≥1都是E上几乎处处有限的可测函数，若{fn}n≥1在E上近一致收敛于f，则{fn}n≥1在E上依测度收敛于f。