杨春梅,李祖泉

(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

函数空间Ck(X)上的T-Tightness和Set-Tightness

杨春梅,李祖泉*

(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

讨论了函数空间Ck(X)在赋予紧开拓扑下的T-tightness和set-tightness性质,利用开k覆盖获得了Ck(X)是T-tightness空间和set-tightness空间的两个对偶定理,将点态收敛拓扑函数空间Cp(X)的相关结论推广到紧开拓扑函数空间Ck(X)上.

函数空间;紧开拓扑;T-tightness;set-tightness;k覆盖

0 引 言

T-tightness空间和set-tightness空间是弱于tightness空间从而弱于第一可数空间的一类拓扑空间.set-tightness空间是由Arhangel’skii A V[1]引入,最初称为拟特征(quasi-character)空间,后来Juhasz I[2]将其称为set-tightness空间,Bella A[3-5]对其进行了系统研究.Juhasz I为了比较set-tightness空间和tightness空间引入T-tightness空间.函数空间Ck(X)的各种类型tightness特征中已经有tightness, fan tightness和可数强fan tightness对偶性的证明,上述性质已推广到集值映射空间Ck(X)[6-7]上.函数空间Cp(X)中的T-tightness和set-tightness性质的刻画是由Sakai M[8]得到的.Ck(X)空间的拓扑性质与Cp(X)有很大区别.McCoy R A, Ntantu I[9]和林寿等[10]对Ck(X)的拓扑性质均有系统的论述.在此给出了具有紧开拓扑函数空间Ck(X)的T-tightness和set-tightness性质与基本空间X的对偶定理,获得了Ck(X)是T-tightness和set-tightness空间的等价性证明.

1 预备知识

在此拓扑空间X是Tychonoff的,λ,τ和κ表示无限基数,ω表示可数序数及基数,cf(κ)表示最小的基数λ使得κ具有一个基数为λ的共尾子集,即cf(κ)=min{λ:|A|=λ<κ,A与κ共尾}.如果κ≥ω,并且cf(κ)=κ,则称κ是正则基数.若κ是正则基数,A⊂κ,|A|<κ,则supA<κ.对于κ≥ω,cf(κ)是正则基数.R表示实直线,Ck(X)为X到R上的所有的连续映射族,并且赋予紧开拓扑.文中未定义的术语和符号均以[10-11]为准.

函数空间Ck(X)上的子基开集形如[K;U]={f∈Ck(X):f(K)⊂U},其中K是X的非空紧子集,U是R中非空开集.

Ck(X)上的基开集形如 [K1,K2,…,Kn;U1,U2,…,Un]={f∈Ck(X):f(Ki)⊂Ui,1≤i≤n},

其中Ki(1≤i≤n)是X的非空紧子集,Ui(1≤i≤n)是R中非空开集.

2 函数空间Ck(X)上的T-Tightness

定义1空间X的T-tightness[2]定义为

T(X)=ω+min{τ:cf(κ)>τ,{Fα:α<κ}是X的递增闭集族,那么∪{Fα:α<κ}是X中闭集}.

为了刻画Ck(X)上的T-tightness性质,类似于[8]的T(τ)定义,给出下面的Tk(τ)定义.

定理1对于空间X,下列结论是等价的:

1)T(Ck(X))≤τ; 2)X具有性质Tk(τ).

3 函数空间Ck(X)上的Set-Tightness

类似于[8]的ts-对和ts(τ)的定义,给出下面的tk-对和t……