王晓佳

(合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009)

一类复杂时滞系统的λ实用稳定性

王晓佳

(合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009)

主要研究了一类具有多时滞的复杂微分系统的λ实用稳定性问题,通过对Lyapunov函数方法以及比较原理的运用,建立一般形式的实用稳定性直接判据.在此基础上给出讨论这类多时滞复杂微分系统实用稳定性的新方法.

泛函微分方程;λ实用稳定性;时滞

1 引 言

随着科技发展和人们对诸如控制系统、生态系统、航空系统、经济系统等领域的研究,人们遇到了大量的时滞现象.在涉及到线性过程的许多应用中,都存在有滞后现象,即事物的发展趋势不仅依赖于当前的状态,而且还依赖于事物的过去历史.在数学上描述这类运动要用时滞泛函微分方程(简称时滞系统[1]).由于它本质上是无限维的,这样就给系统动力学研究带来许多困难.

对滞后系统,研究历史虽已有三十年,但稳定性、稳定性理论仍处于初创阶段,特别是对于这种类型系统的实用稳定性,据作者所知,研究结果[4-5]并不是很多,而对于这类系统的λ实用稳定性,研究几乎处于空白.在本文中,我们运用研究运动的实用稳定性的创新方法,来建立时滞系统的实用λ稳定性的充分条件.

考虑下面这个多时滞微分系统

本文约定,∀x,y∈Rn,x≤y的充分必要条件为xi≤yi(i=1,2,…,n).下面我们先介绍一些预备知识,然后给出判定此类复杂时滞系统(1)的λ实用稳定性的结论.

2 预备知识

定义1 称系统(1)是实用λ稳定的,如果对于任何初始函数φ(θ)∈S0(t),τ＊≤θ≤0,存在λ＞0使当0＜λ＜λ0时,对所有的∀t0∈T0满足x(t0,φ,λ)(t)∈intS(t).

假设对于系统(1)存在极限

且为关于x∈D1,y∈D2的一致极限.

在区域T0×D1×D2,D1⊂Rn,D2⊂Rn内,向量函数由关系式

确定,其中¯fi有零均值.

考虑对应于方程组(1)的均值方程组

对(4)考虑具有连续且可微的分量的向量函数V∶Rm→Rm+与函数Γ∈C1(R+,Rm),Γ有可微的分量,同时有

下面,将在对均值方程组(4)的解的性质的某些假设条件下,建立方程(1)的实用λ稳定的条件.由文献[4],[5]不难得到:

引理1 假设在方程组(1)中的函数fi(t,u,v)(i=1,…,n)在区域Q={(t,u,v)∶t∈R+,u∈D1, v∈D2}内有定义且连续,同时假设在这个区域内成立:

(Ⅰ)存在函数M(t)与常数M0,使得在任何有限区间[t1,t2]⊂T0上满足

(Ⅱ)存在函数H1(t),H2(t),常数h1,h2与K类函数ψ1,ψ2使得

对任何x1,x2∈D1,y∈D2与[t1,t2]⊂T0成立;

对任何y1,y2∈D2,x∈D1与[t1,t2]⊂T0成立;

(Ⅳ)x1∈D1,y∈D2一致存在极限式(3),且向量函数˜fi(x,y)满足关于x1∈D1的具有常数N的李普希兹条件,

则对于任何η≥0,L≥0,能找出一个λ0,使当0＜λ＜λ0,在区间0≤t≤Lλ-1上满足不等式

3 主要结果

与不等式组(5)一起来考虑比较方程组

对系统(1),利用引理(1)的估计式与比较原理,可得出系统(1)的实用λ稳定性的充分条件.

定理1 对系统(1),假设

(Ⅰ′)满足引理1的条件(Ⅰ),(Ⅱ);

(Ⅱ′)存在向量函数:V:Rn→R与函数Γ∈C(R,Rm)满足不等式(5);

(Ⅲ′)存在可积函数Γ1(t),Γ2(t),常数z1,z2与K类函数ψ1,ψ2使得

[1] 郑祖庥.泛函微分方程理论[M].合肥：安徽教育出版社,1994.

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[12] 王晓佳.变时滞区间中立型系统的稳定性新判据[J].黑龙江大学自然科学学报,2011,28(1)：34-39.

Theλ-Practical Stability for aclass of Complex Delay Systems

WA N G Xiao-jia
(Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

This paper is devoted to the investigation forλ-Practical Stability for aclass of systems with multiple delays.By using Lyapunov functions and comparison principle,we will get some criteria for delay systems.

functional differential equations;λ-Practical Stability;delay

O175

A

1672-1454(2011)03-0093-05

2008-09-05

国家自然科学基金项目(70631003)