康宏春 (川北医学院数学教研室, 四川 南充 637007)

雍龙泉 (陕西理工学院数学系, 陕西 汉中 723001)

参数取负的混合对流方程的等价形式

康宏春 (川北医学院数学教研室, 四川 南充 637007)

雍龙泉 (陕西理工学院数学系, 陕西 汉中 723001)

通过引入一新的独立变量和一新的未知函数，建立起了参数取负值时混合对流方程与一奇异积分方程的等价性，为进一步研究参数取负的混合对流方程的凸解的存在性问题提供方便。

混合对流方程；奇异积分方程； 等价性

流体力学中重要的三阶非线性自治微分方程边值问题：

f‴(η)+(1+λ)f(η)f″(η)+2λ(1-f′(η))f′(η)=0 0≤ηlt;+∞

(1)

边界条件：

f(0)=αf′(0)=βf′(+∞)=1

(2)

来自于对流经一个极薄的半无限竖直平面附近的混合对流边界层流体的研究[1]。2006年, M. Guedda[2]证明了对α=0, 当-1lt;λlt;0,0lt;βlt;3/2时, 式(1)、(2)存在无数多个解; 当λlt;-2,βgt;3/2时, 方程无非负解; 而当λ=-1(除β=1时平凡的等式f(t)=t的情况外)时, 式(1)、(2)无解。同年,B. Brighi，J.D. Hoerlel等[3]证明了对α∈R,λgt;0,当0lt;βlt;1时, 式(1)、(2)存在唯一的凸解; 当βgt;1时, 式(1)、(2)存在唯一的凹解。最近,H.C.Kang等[4]论证了对于α≥0，λ=-1/3，当0lt;βlt;1时, 式(1)、(2)存在唯一凸解; 当βgt;1时,式(1)、(2)存在唯一凸解。

但在文献[2-4]中, 式(1)、(2)并未考虑参数βlt;0，而且至今也没有关于当参数β与λ均取负值时式(1)、(2)解的存在性结果的报道。下面，笔者考虑参数β取负值时，式(1)、(2)与奇异积分方程的等价性，补充了以上不足，并为研究参数取负的混合对流方程的凸解的存在性问题提供方便。

定理1 当α=0时, 对于βlt;0, 式(1)、(2)与以下奇异积分式(3)等价：

(3)

由式(3)得：

令：

这蕴涵着：

令：

(4)

(5)

对式(5)关于η求导, 得：

f″(η)=w(f′(η)) 0≤ηlt;+∞

(6)

对式(6)关于η求导, 得：

f‴(η)=w′(f′(η))f″(η) 0≤ηlt;+∞

(7)

对式(3)关于t求导, 得：

(8)

把t=f′(η)代入式(8)得:

(9)

由式(6)、(7)以及式(9), 有:

(10)

f‴(η)+(1+λ)f(η)f″(η)+2λ(1-f′(η))f′(η)=0 0≤ηlt;+∞

并且β≤f′(η)lt;1，f″(η)gt;0， 0≤ηlt;+∞。

反之， 如果设βlt;1,f(η)是式(1)、(2)的一个解, 并且满足f″(η)gt;0(η≥0),令η=g(t)是函数t=f′(η)的反函数,w(t)=f″(g(t)), 可以证明w(t)满足的奇异积分式(3)[4]。……