郭晓永 (临沧师范高等专科学校数理系, 云南 临沧 677000)

黄卫华 (文山学院数理系, 云南 文山 663000)

半群的模糊同余探讨

郭晓永 (临沧师范高等专科学校数理系, 云南 临沧 677000)

黄卫华 (文山学院数理系, 云南 文山 663000)

主要介绍了半群上模糊同余的概念，并讨论了模糊同余的一些基本性质。

模糊关系；模糊同余；模糊半群

自Murali[1]和Nemitz[2]提出集合上的模糊等价关系概念、Samhan[3]给出了半群的模糊同余的概念以来，不少学者将模糊数学理论与半群理论相结合，提出了一些有价值的概念，这些理论进一步丰富了模糊数学的内容。下面，笔者在模糊关系与模糊同余概念的基础上研究半群上模糊同余的一些性质。

1 基本概念

定义2[4]设S为半群，S上的模糊二元关系R称为模糊左(右)相容的，当且仅当对任意x,y,t∈S有R(x,y)≤R(tx,ty)(R(x,y)≤R(xt,yt))。

定义3[4]半群S上的模糊二元关系R称为模糊相容的，当且仅当对任意a,b,c,d∈S有min{R(a,b),R(c,d)}≤R(ac,bd)。

定义4[4]半群S上的模糊相容相似二元关系R称为模糊同余。

引理1[4]半群S上的模糊二元关系R是模糊同余的充要条件为既是模糊左相容相似关系又是模糊右相容相似关系。

由定义5，合成关系满足结合律，即(P∘Q)∘R=P∘(Q∘R)，其中,P,Q,R均为模糊二元关系；X上的模糊二元关系R是传递的当且仅当R⊃R∘R。

2 主要结论

定理1如果非空集合X上的模糊二元关系P,Q满足P∘Q=Q∘P，则:

证明

=(P∘Q)∘(P∘Q)(a,c)=(P∘P)∘(Q∘Q)(a,c)

定理2如果半群S上的模糊同余P,Q满足P∘Q=Q∘P，则P∘Q也是S上的模糊同余。

证明先证P∘Q为S的相似关系。显然P∘Q是自反的。对任意a,b∈S，有：

即P∘Q是对称的。又由：

(P∘Q)∘(P∘Q)=P∘(Q∘P)∘Q=P∘(P∘Q)∘Q⊂P∘Q

则P∘Q为相似关系。

下证相容性。设∀x,y,t∈S，则：

同理可得(P∘Q)(x,y)≤(P∘Q)(tx,ty)，由引理1可知P∘Q是相容的。……