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(湖南师范大学数学奥林匹克研究所 湖南长沙 410081)

三角形内切圆的几个性质及应用

●沈文选

(湖南师范大学数学奥林匹克研究所 湖南长沙 410081)

本文将三角形内切圆中的几个有趣结论作为性质介绍如下.

证明过程略.

性质2设△ABC内切圆的圆心为I，△IBC的外接圆分别和射线AB，AC交于点D，E，则DE与⊙I相切.

图1 图2

证明显然D，B，I，E，C五点共圆.对于图1，有

∠IDB=∠ICB,∠IDE=∠ICE.

而

∠ICB=∠ICE,

于是

∠IDB=∠IDE.

由于AD与⊙I相切，由对称性知DE也与⊙I相切.对于图2，有

∠IBC=∠IEC,∠IBD=∠IED,

而

∠IBC=∠IBD,

于是

∠IEC=∠IED.

因为EA与⊙I相切，所以ED也和⊙I相切.

性质3设△ABC的内切圆切边BC于点D，AD交内切圆于点L，过点L作内切圆的切线分别交AB，AC于点M，N，则

证明当MN∥BC时，△ABC为等腰三角形，此时结论显然成立.

当MN与BC不平行时(如图3)，可设直线MN与直线BC交于点G，设内切圆切AC于点E，切AB于点F，则

GD=GL,BD=BF,ML=MF.

对△GMB及截线DLA应用梅涅劳斯定理，得

从而

即

于是

同理对△GNC及截线CNA应用梅涅劳斯定理，可得

注意到AE=AF，于是

图3 图4

证明如图4，连结BH，CH.

因为

∠BFH=∠CEH,

所以

△BHF∽△CHE,

于是

∠BHF=∠CHE,

且

由角平分线性质定理的逆定理，知DH平分∠BHC,从而

∠DHF=∠DHB+∠BHF=∠DHC+∠CHE=

∠DHE,

于是

DH⊥EF.

必要性当DH⊥EF时,若FE∥BC,则△ABC为等腰三角形,结论显然成立.若FE与BC不平行,则可设直线FE与直线BC交于点G(如图4).对△ABC及截线FEG应用梅涅劳斯定理,得

注意到AE=AF,BF=BD,CE=DC,得

过点D作MN∥HG交直线BH于点M,交直线HC于点N,则

DH⊥MN,

从而

即

MD=DN.

由等腰三角形性质,知DH平分∠MHN,即

∠BHF=∠CHE.

又由

∠BFH=∠CEH，

得

△BHF～△CHE，

从而

性质5设△ABC的内切圆⊙I切边BC于点D，P为DI延长线上一点，直线AP交BC于点Q，则BQ=DC的充要条件是点P在⊙I上.

证明如图5，过点P作B′C′∥BC交AB于点B′，交AC于点C′.

充分性当点P在⊙I上时，B′C′切⊙I于点P,易知△AB′C′∽△ABC.由于在∠BAC内它们的旁切圆分别为⊙I与⊙IA,因此在以A为中心的位似变换下，使⊙I变为⊙IA，此时切点P变为切点Q，即Q为……