李美蓉

（合肥师范学院数学系，安徽合肥 230061）

跳—扩散模型下的广义交换期权定价

李美蓉

（合肥师范学院数学系，安徽合肥 230061）

期权及其定价理论是目前金融管理，金融工程研究的前沿问题之一。本文在风险中性的假设下，建立了跳过程为一类特殊的更新过程时的股票价格模型，利用鞅方法得到了此模型下的欧式广义交换期权的定价，最后列出了此模型一些特例和推广，以及套期保值策略和交换期权在投资基金业绩报酬价值中的应用。

更新过程；鞅方法；交换期权

1 引言

期权是风险管理的核心工具。期权给予其持有人（多头方）在确定的时间，以敲定的价格买入或卖出一定数量标的资产的权利（但没有义务）。Black F.和Scholes M.在假设市场完备和股票价格服从几何Brown运动等条件下，推出了著名的Black－Scholes期权定价公式［1］，而获得了Nobel经济学奖。在这个假定下，股票价格路径几乎处处连续的，但实际中一些重大信息的到达（如亚洲金融风暴，911事件等）会使股票价格发生不连续的变动，即跳跃。基于此，Merton（也是Nobel经济学奖获得者）首先建立了股票价格的跳——扩散行为模型［2］，其中扩散过程表示股票价格的连续波动，用Brown运动（最初是用来描述液体中微小颗粒的不规则运动的，后来较多的用来描述股票等价格的运动）来刻画，跳过程表示股票价格的不连续波动，用Poisson过程来刻画。近年来随着金融市场的不断发展，出现了许多新型期权［3］－［5］，对各类期权定价的研究就成了当前金融工程的热门话题之一，其中利用鞅方法对一些较为复杂的期权简单地进行定价（鞅的英文是Martingale，意思是公平赌博）。交换期权的指持有人在到期日有权利（但没有义务）以一种风险资产交换另一种风险资产，最初是由Margrabe提出并推出欧式交换期权的定价。本文在假定股票价格跳过程为一类特殊的更新过程模型下，用较简单的数学方法得到了广义交换期权定价，并给出一些特例和推广，以及广义交换期权的套期保值策略。

2 预备知识与市场模型

假设在金融市场M中有3种可连续交易的资产，其中一种是无风险债券，设其价格过程Pt满足微分方程：dP t＝rt P t dt，P0＝1，其中rt为短期无风险利率，是时间t的函数。

另两种是风险资产，设为股票1和股票2，其价格过程S1t与S2t在风险中性概率空间（Ω，F，P）中分别满足下面的随机微分方程（SDE）：

SDE（3）和SDE（4）的解可由Doleanse－Dade指数公式得出，如（3）的解为

3 跳—扩散模型下广义交换期权定价

欧式广义交换期权是期权的多头方在到期日T拥有以b份标的股票2换取空头方a份标的股票1的权利，因此，在到期日T多头方的收益f（S1T，S2T，T）＝（aS1T－bS2T，0）＋。

εk，l是关于（1＋Vj）的联合分布期望算子，Φ（·）为标准正态分布的累积概率分布函数。

证：由市场的无套利定价理论可知：

4 一些特例

① 若假设此更新过程为纯生过程，且无风险利率，波动率均为常数，则由公式（5）可以得到文献［4］的结果。

② 若假设股票价格的过程为扩散过程，无风险利率，波动率均为常数，ρ＝0，a＝b＝1，代入（5）式就可以得到文献［3］的结果。

③ 若假定股票1的过程为扩散过程，且参数均为常数，a＝b＝1，标的资产2为无风险资产（如债券，银行存款等），且在T时刻的价值是K，则由公式（5）可得到经典的Black－Scholes公式。

5 套期保值策略

6 交换期权在投资基金业绩报酬价值中的应用

为简便起见，我们假定假设股票价格的过程为扩散过程，无风险利率，波动率均为常数，a＝b＝1。由文献［6］可知投资基金业绩报酬的奖金形式可以视作基金管理人可以选择不同的证券投资组合的期权，这一期权是由β个基金管理人的投资组合与基准投资组合所组成的交换期权。可表示如下：

V P为业绩报酬的价值，β为增值收益的提取比例，x1为期初基金投资组合的资产价值，x2为期初基准市场投资组合的资产价值。

假定β＝0.05，x1＝x2＝20亿元，T－t＝1，σ1＝σ2＝0.20，ρ＝0.80（标准差反映的是基金投资报酬率相对平均水平的波动程度，这里假定基金投资组合的标准差与基准市场组合的标准差相等，都为0.20，同时根据假定基金投资组合与基准市场组合的相关系数为0.80），则d1＝0.064，d2＝－0.063，查表得：Φ（d1）＝0.524，Φ（d2）＝0.476，所以得到：

［1］ Black F.Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of political Economy.1973，81：133－155.

［2］ Merton R C.Option pricing when underlying stock Returns are discontinous［J］.Journal of Financial Ecnomical.May，1976，125－144.

［3］ Margrabe W.The Value of Option to one Asset for Another Journal of Finance，Vol，XXXIII：177－186.

［4］ 胡志锋，黄荣坦.纯生跳扩散型交换期权定价公式［J］.数学研究，2005，38（3）：333－338.

［5］ 陈超，邹捷中，王自后.股票价格服从纯生跳——扩散过程的期权定价模型［J］.数量经济技术经济研究，2002，（1）：40－42.

［6］ 薛刚，高红兵，黄培清.交换期权与我国投资基金业绩报酬的价值［J］.系统工程理论方法应用，2000，9（1）48－53.

Pricing General Exchange Options under Jump－Diffusion Model

Li Mei－rong
（DeptofMath，HefeiTeathersCollege，Hefei230061，China）

Options and the pricing theory of options are the frontiers problem in today’s financial management and financial engineering research.Under the risk－neutral hypothesis，we construct the model of stock price which jump process is a kind of special renewal process and obtain European general exchange option pricing formula under this model by means of martingale method.At last，this paper list some special cases of this model and generalize the pricing model and hedging strategy and the applying on perfoumance incentive fee of investment funds.

renewal process；martingale method；exchange option

O211.6；F830.9

A

1674－2273（2011）06－0012－03

2011－07－10

安徽省高等学校省级优秀青年人才基金资助项目：2010SQRL151

李美蓉（1977－），女，安徽芜湖人，合肥师范学院数学系讲师，研究方向：金融数学。

·马克思主义中国化·