基于网络参量的频率响应研究

2011-09-19王乙斐青海银

电子设计工程 2011年5期

王乙斐，李新，王颖，青海银

（1.武汉大学电气工程学院，湖北武汉 430079；2.武汉大学电子信息学院，湖北武汉 430079）

在射频微波中，滤波器属于无源器件，它可以让有用信号尽可能无衰减的通过，让无用信号尽可能大的衰减。对线性网络而言，切向电磁场所对应的归一化等效电压、归一化等效电流之间的关系可用线性代数方程组来表示。线性方程组的系数即为网络参量。在同一工作频率下，网络参量由网络自身特性决定，与外界激励源无关[1]。因此，任何一个微波不均匀结构都是可以用适当的网络来等效的。实际工程上应用的滤波器都是有损滤波器，因此对于这些滤波器还应考虑通带内的插入衰减。通过对滤波器网络参量的分析可以得到更为准确的频率响应。

1 问题引出

在进行模拟滤波器的设计时，发现有些颇令人匪夷所思的现象。如图1所示的9阶巴特沃斯低通原型滤波器，查表得到如下参数：g1=0.347 3，g2=1.000，g3=1.532，g4=1.879，g5=2.000，g6=1.879，g7=1.532，g8=1.000，g9=0.347 3。

图1 9阶巴特沃斯低通原型滤波器电路Fig.1 Circuit of 9-order Butterworth low-pass prototype filter

在计算滤波器的响应时，若简单地用负载两端的电压与输入端电压之比，即通常所说的系统传递函数H（ω）来计算，得到的幅频特性如图2所示。

从图2中可以看到，用传递函数H（ω）得到的滤波器幅频特性在归一化频率1处并不为-3 dB，这与巴特沃斯滤波器并不相符。而且在频率1～1.2之间还有一个上突的尖峰，此时对应负载电压大于输入电压，而LC滤波网络是无源网络，输出功率肯定是小于输入功率的，那上述现象又如何解释？另外，上述响应特性明显是不平坦的，这也与巴特沃斯滤波器的另一称呼最大平坦响应滤波器格格不入。因此其间肯定存在一些与通常看法不一样之处，本文针对此问题展开深入讨论。

图2 传递函数得到的滤波器幅频特性Fig.2 Amplitude-frequency characteristics showed by transfer function

2 网络理论

在进行射频、微波电路设计时，节点电路理论已不再适用，需要引入分布参数电路分析方法。这时可采用复杂的场分析法，但更多地时候是采用微波网络法来分析电路。对于微波网络而言，最重要的参数就是S（散射）和A（转移）参量[1]。

2.1 散射参量

散射参量是描述各端口入波和出波之间关系的网络参量，而入波和出波实际上是各端口的归一化电压入射波和归一化电压反射波。若定义进入网络的波称为“入波”，记为入射波a；从网络中出来的波称为“出波”，记为反射波b。入波与出波之间的关系是线性关系，可以用下列线性方程组来表示：

简写为：[b]=[S][a]；

其中：[b]=[b1b2… bn]T，[a]=[a1a2… an]T分别为入波列矩阵和出波列矩阵。

其中：S11表示1口接信号源，2口接匹配负载时，1口的电压反射系数；S21表示1口接信号源，2口接匹配负载时，1口到2口的电压传输系数。

2.2 转移参量

图3所示为二端口网络N，当以输出端口2上的归一化等效电压和归一化等效电流I2为自变量，以输入端口1上的为因变量时，可以写出以下关系式：

写成矩阵形式有：

图3 典型二端口网络Fig.3 Typical two-port network

2.3 系统的频率响应

3 问题探讨

3.1 插入衰减法

将滤波器视为一个网络，如图4所示，引入微波网络理论。

图4 滤波器网络Fig.4 Filter network

其中，滤波器用散射参量[S]描述。网络理论中有一个重要的工作特性参量叫插入衰减L，它定义为当网络的输出端口接匹配负载时，输入端的入射波功率Pi与输出端出射波功率（即负载吸收功率之比）PL之比，即

可见插入衰减与S21密切相关，一般也可以通过S21来得到插入衰减。但插入衰减的概念仍然大有用处，因为它具有直观的物理意义，而且目前滤波器的综合方法就是基于“插入衰减法”[2-3]。图5是利用S21得到的上述9阶低通原型滤波器的幅频特性。

从图5可以看到，它符合最大平坦响应特性，且在归一化截止频率处衰减3 dB，这正是标准的滤波器幅频响应特性。

图5 由S21得到的滤波器幅频特性Fig.5 Amplitude-frequency characteristics showed by S21

那么为何微波网络滤波器的频率特性不是用滤波器的传递函数来描述，却用一个称为插入衰减的量来描述？传递函数会有上突的尖峰，而插入衰减却很好地符合我们对滤波特性的认识和理解。

在图4中，可以把滤波器和匹配负载视为一个网络，其两端口为端口1和端口2′，端口2′是终端开路的，可以用转移参量[A]来描述。根据[A]的定义式（3），有：

首先，负载rL两端的电压应该是一样的，即：

（7）式中用到了a2=0的条件，这由图4不难得到，因为负载是匹配的，故不会有反射波。

比较图6、图2，两者完全一致，这也进一步论证了推导的正确性。

3.2 结果分析

图6 由S21/（1+S11）得到的滤波器幅频特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics showed by S21/（1+S11）

第二，负载端电压大于输入端电压并不违反能量守恒定律。这是由于输入阻抗与负载阻抗并不相同，若将两者算出，可以得到输入功率与负载功率（由电压的平方除以阻抗然后取实部得到）是相等的。因为LC滤波网络是无源无损网络，输入功率全部消耗在负载上。因此，负载端电压大于输入端电压不仅不违反能量守恒定律，它恰恰是能量守恒的结果。