狭长区域GPS水准点的最佳布设与拟合方法的应用探讨＊

2011-08-29强晓焕王宇飞

全球定位系统 2011年4期

郭敏，强晓焕，王宇飞

（1.河南理工大学测绘与国土信息工程学院，河南焦作454003；2.中原油田建设集团公司，河南濮阳457000）

0 引言

近年来，GPS技术在公路、铁路、隧道等领域发挥了积极的作用，用该技术建立狭长工程区域的控制网比常规方法省时、省力，而且精度高、速度快。借助于分布在测区的部分GPS点与水准点重合，建立区域的高程拟合模型，这在一些工程中获得很大的应用，特别是分布较小区域。对于狭长工程区域的控制网，由于其形状特殊、范围大，重合点的分布受到限制等，狭长工程区域GPS高程的拟合仍处于研究阶段。从点位的最佳布设，结合多面函数拟合法、分区拟合法进行高程转换，通过精度评定，得出各种方法的适应范围和精度级别，最终得出狭长区域的最佳布设方案及最佳拟合方法。

1 点的布设

GPS水准点的布设对提高高程精度是非常关键的。下面是一个具体实例：狭长的工程区域高程控制必须覆盖测区，并确保宽度至少达到1km。水平控制必须覆盖测区。当控制点的间隔仅100 m时，其高程的误差达到了20mm（见图1），要提高这种工程的校正控制，需增加水平控制点和高程控制点，保证覆盖整个测区，并保证高程控制点之间的宽度不小于1km（见图2）。

重合点的布设是否恰当，直接关系到拟合精度。从理论上讲，这些点最好分布在高程异常的特征点上，即这些点能有效地代表测区的高程异常变化，从而使采用这些点建立起来的拟合曲面能较好地接近实际曲面，否则将会带来较大的模型误差。但在实际工作中，由于高程异常的分布与地形的走势并非一致，选取重合点存在一定的盲目性。实践证明，重合点的选取应注意以下几点：①一般根据测区已知水准点的分布并考虑均匀分布的原则确定重合点；②在地形有较大变化的交界处布设重合点；③当拟合区域范围较大时，可借助该区域全球高程异常图布设。

2 GPS高程转换方法

高程转换方法利用GPS水准高程法，该方法是从几何解析的角度出发，利用GPS测量和水准测量成果确定似大地水准面，求出高程异常，从而拟合出正常高的一种方法。此方法在工程上已获得广泛的应用。见图3所示各种高的关系，H代表大地高，Hr为正常高，ξ为高程异常，它们之间的关系见公式（1）：

图3 大地高和正常高关系图

3 GPS高程拟合方法

针对狭长工程区域常用方法进行探讨，重点对多面函数法、分区拟合法两种方法进行探讨。

3.1 多面函数法[1－4]

1）原理

多面函数拟合是一种纯数学曲面逼近方法，它的出发点是在每个数据点上同各个已知数据点分别建立函数关系（这种关系表现为一规则的数学曲面），将这些有规律的数学曲面按一定的比例迭加起来，就可拟合出任何不规则的曲面，且能达到较好的拟合效果。也就是一个数学表面上某点（X，Y）处的高程Z的表达式为

式中：aj是待定系数；Q（x，y，xj，yj）为核函数；x、y为待求点的坐标；（xj，yj）为已知点坐标。选择式中δ为光滑系数。

当待求点数等于已知点时，任一点ξp为

式中，Qij＝Q（x，y，xj，yj）。

当待求点多于已知点数时，

在GPS网中，GPS水准可求出高程异常，取全部或部分已知点为核函数的中心点（xj，yj）就可用上述方法求出点（xj，yj）上的高程异常，从而获得该测区的高程异常分布图。

2）多面函数法精度计算

某狭长区域工程控制网平面示意图如图4，表1为控制区的高程成果图

图4 示意点位图

表1 某区域高程控制成果表

根据图4，由多面函数选点原则，可将1，7，9，10，14，16，17点作为已知点，并将7，9，10，17作为拟合核函数的中心点，即已知点，建立多面函数拟合模型，对剩余的10个点进行高程拟合，用拟合所得的高程与己知的水准高程进行比较，来验证各个多面函数拟合的精度。根据多面函数的原理和所给数据，分别求出各个待拟合点的高程异常，然后求出拟合残差见表2所示。

表2 多面函数法拟合点残差／m

按照公式（5）计算出GPS水准拟合的外部符合精度[4－5]M ＝ ±0.078m.

式中n为v的个数，vi＝ξ－ξ′i.

3.2 分区拟合法

分区拟合[2－4]是把需要测量区域分成几个小区，由于分区前一般不了解测区的高程异常变化情况，分区时可将邻近的且高程异常值变化趋势相近的GPS水准联测点作为一个小区，也可以先采用比较简单的最小二乘平面拟合法试算，将整个测区用一个平面模型来拟合，然后根据试算后的各GPS水准联测点的高程异常值的拟合残差大小，判定测区的高程异常起伏变化的情况。将拟合残差大的联测点作为高程异常的高、低变化点，分别把以这些点为中心的区域作为一个小区；同时，也要结合测区的地形变化进行划分，还可参阅高程异常图。分区拟合注意以下两个问题：

1）拟合后曲面间的连接：根据测区的实际情况，每个小区内进行联测拟合，拟合后的曲面会出现曲面相交和曲面不相交两种情况。分区拟合后不进行平滑连接，这样会出现同一个点有两个不同的正常高，为避免这种情况采用数学函数进行平滑连接，以小区间有3个公共的GPS水准联测点为佳。①对拟合后曲面相交的平滑连接这种情况：两个小区分别采用适合自己的拟合模型拟合后，若出现相交的情形，可采用双三次样条函数进行连接。通过解算双三次样条函数，可以实现两个小区分别拟合后的曲面相交的平滑连接，使测区的高程异常模型曲面为一光滑的物理面。若曲面间的交线是一平面曲线，为简化计算，也可以用三次样条函数来进行平滑。②对于拟合后曲面不相交的平滑连接：若拟合后的曲面出现不相交的情况，可采用双三次曲面函数来进行小区间的平滑连接。实现了不相交曲面间的平滑连接，建立了测区的统一高程异常模型，测区内任意点的高程异常都可以通过拟合函数内插计算获得。

2）分区拟合法精度评定：采用拟合法求高程异常是否能够达到必要的精度以代替低等级的几何水准测量，有必要对拟合结果进行精度评定。精度评定的方法主要是计算检核点（未参与拟合的支撑点）的中误差。

每个小区采用适合自己的数学函数进行拟合，对拟合函数的拟合精度进行评定，按公式（6）：

式中：εi为参加拟合的GPS水准联测点的拟合残差；n为参与的拟合点个数。

计算检核点（未参与拟合的GPS水准联测点）的拟合中误差，按公式（7）。式中，εj为检核点的GPS水准高程异常与拟合后计算出的高程异常之差；m为检核点个数。

计算水准测量的限差，比较每个检核点的εj是否超限（按照公式（8）计算），L是检核点到最近的拟合点的距离（km）；m0为规范规定的确定限差的单位中误差，可根据所要求的水准测量等级赋值，如该测区要求达到四等水准测量的精度要求，按规范要求，m0取20mm.

3.3 两种方法的精度比较

为了更客观的把两种方法的精度高低表现出来，在研究两种方法的高程拟合时，特地选了同样的点作为已知点，分别用这两种方法求出待拟合点的高程异常，这样就更直观的把这两种方法拟合高程的优劣表现出来了，各种方法的精度评定结果见表3。

表3 不同拟合方法精度比较／m

由此表可以很清晰的看到，不管从外部符合精度还是残差来看，多面函数拟合法在计算量和精度上优势很明显，结合此控制网的形状和各点的分布，可以知道多面函数拟合法适合于地形复杂的测区拟合，当GPS水准联测点越多、显著点越多时，这种方法的拟合精度就越高，越能反映出测区内细部的凸凹变化程度。因此，该方法是狭长区域工程的首选拟合方法。