442001 湖北省十堰市东风高中甘志国工作室 甘志国

对三个指数方程求解的质疑

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求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的，笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案，也没有注意定义域问题，所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.

题1 (见专著［1］第66页的第2题)(指数方程)试解方程：xx2-1=3.(提出人：广东大埔高陂方丁)

下面再给出题1的推广问题的若干结论.

定理2 若a是已知的正实数，则方程xx2-1=a(x＞0)的全部解是：

(1)当0＜a＜1 时，无解;

(2)当a=1时，解集是{1};

问题 请读者找出方程xx2-1=a(x∈R)有四个解的例子.

题2 (一团漆黑)试解方程xx=x.

这里面连一个已知数都没有，不是一团漆黑吗?

该书第204页给出的解答是：

用两端取对数的方法来解这个方程

xlgx=lgx，(x-1)lgx=0，

所以x=1，

经检验知x=1是原方程的根.

奇怪的是x=-1也是原方程的根，可是它不能通过解方程的正常途径而得到.

(见专著［2］第160页)

该解答体现了趣味性，但不是完整的解答.

文献［3］用较长篇幅求出了方程xx=x的所有实数解只有两个：x=±1.专著［4］也给出了该方程所有实数解的简洁求法，下面再给出两种简解(只须再求x＜0的解)：

再由已得的结论方程 tt=t的正数解是 t=1，得-x=1，x=-1.

题3 (解指数方程组)试解联立方程式：x+y=5，xy+yx=17.(提出人：杨擎天)

解 由第一式得出y=5-x，代入第二式就有x5-x+(5-x)x=17.

令s=x5-x+(5-x)x，当x，y都只允许取实数的时候，要s的值等于17，就可以看出x与y都是有界的.如果把x=8代入s的表示式就有s＞17，这就表明x只能小于8才可能满足所给的两个方程.

又因为x与y互换，原方程式……