733000 甘肃省武威第十三中学 张晓辉

钟面上的数学问题

733000 甘肃省武威第十三中学 张晓辉

钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题.在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题或相遇问题来解决.

1 时针与分针的重合问题——可转化为追及问题解决

钟面上除了12点到1点这一时段里分针一开始就领先时针跑在前面不会与时针重合外，其它时段，分针总能在某一时刻追上时针并与时针正好重合.这样，就形成了一个有趣的数学问题：时针与分针究竟在几时几分重合?

我们就可以将此题理解成跑得快的分针在后面追跑得慢的时针，这样，时针与分针的重合问题就转化成了追击问题.

问题1 3时多少分时，时针与分针重合?

分析 这个问题实际上就是行程问题中的追及问题，3时分针指着12，时针指着3，分针与时针相距5×3=15小格(90°).分针每分钟走 1 小格(6°)，时针每分钟走小格(0.5°).要使分针与时针重合，分针要比时针多走15小格(90°).根据追及问题中的速度差×追及时间=路程差列式即可.

图1

解 设分针到x分时，时针与分针重合.

根据题意，得

问题2 一昼夜时针和分针能重合多少次?

解析 如果我们把零点看作是重合的，那么12点、24点就不算重合，否则就重复计数了.这样答案就很清楚了：从1点开始的每一整点开始，到下一整点，都是分针追赶时针，并且在一定的时刻一……