曹 量， 李太君

0 引言

小波变换是近年得到广泛应用的数学工具。与傅里叶变换、Gabor变换相比，小波变换是空间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息。它通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题，因而被誉为“数学显微镜”[1]。基于小波变换具有低熵、去相关、“变焦”和选基灵活等特性并且在图像去噪和边缘检测中有突出的贡献，对目标检测中的这2个重要基础做了深入的研究，提出了改进的小波局部自适应算法，给出了高斯小波模极大值边缘检测方法。

1 小波分析的原理

设函数ψ(x)满足，用尺度因子S对ψ(x)进行放缩得到一组函数ψS(x)=ψ(x/S)/S，则在位置x处，函数f(x)的尺度为S的小波变换定义为：

其中ψ(x)称为小波函数，式（1）称为连续小波变换式。

如尺度S以二进方式离散取值，S=2i（i为整数），则可得到相应的二进小波变换

1.1 小波去噪原理

[2-3]。设一个被噪声污染的信号的基本模型为：

式中s(t)是信号，n(t)是一个服从的宽平稳高斯白噪声。令WTn(a,b)是n(t)的小波变换，a是尺度因子，b是平移因子，则有：

而：

可看出，噪声小波系数的平均功率与尺度a成反比。可证明，对于所有尺度，噪声n(t)的小波变换离散细节信号系数的方差随着尺度的增加也会有规律地减小，即其中Da，Da-1为方差。而信号s(t)小波变换的值在跳变处随着尺度a的增加均表现出明显的峰值，其符号正负则决定于此阶跃是正跳变还是负跳变。

因为正交小波变换是线性变换，所以对观测g作离散小波变换，得到的小波系数y=Wg（W为二维正交小波换算子）仍由两部分组成，一部分是信号f对应的小波系数x=Wf，另一部分是噪声n对应的小波系数v=Wn,即y=x+v。……