陈 杰，张永东

(中山大学科学计算与计算机应用系, 广东 广州 510275)

考虑如下变型Hammerstein积分方程

(1)

其中ψ(s,v),K(s,t),f都是已知函数,x(s)是需要求解的未知函数。ψ(s,v)对v是非线性的,E⊆Rd是一个紧集, 其中d≥1。根据文献[1]可知, 方程(1)与下面的方程等价

其中z(s)和x(s)的关系满足下式

x(s)=ψ(s,z(s))

Hammerstein 方程是一类典型的非线性积分方程, 同时它也是某些非线性椭圆边值问题的积分形式的表述, 刻画了许多数学物理问题。对于线性弱奇性积分方程解的性质和奇异展开已有许多结果[2-4]。文献[5-8]对方程(1)和(2) 以及相关的非线性积分方程进行了研究。 其中, 文献[7]是对具有对数核的方程(2)的解的性质进行了理论分析。对变型方程(1)用配置法进行数值求解时, 所需计算的数值积分比对方程(2)求解要少的多[1]。若对方程(1)解的性质进行某种分析, 将有利于对该方程进行数值求解。 在本文中, 我们将对具有对数核的方程(1) 的解的性质进行理论分析, 并由此得到解的奇异展开。方程解的奇异展开反映了方程本身的物理特性, 也是文献[7,9-10]中所提出的保奇性数值方法的理论基础。这些保奇性数值方法能够充分利用解的奇异分解, 使数值解能够保持方程解本身的物理特性, 并且在解不光滑时也能获得最优收敛阶。因此, 方程(1)解的奇异展开对于其数值求解是很重要的，也具有广阔的应用前景。

1 作用在含对数核的弱奇性积分算子上的非线性算子的奇性展开

在这一节将考虑作用在具有对数核的弱奇性积分算子上的非线性算子的奇异展开。……