俸锦福，张俊红，朱 彬 ，陈宇龙

（1.中交第二航务工程勘察设计院有限公司，湖北 武 汉 4 30071；

2.华北水利水电学院钢结构与工程研究院，河南 郑 州 4 50011；

3.河北省国控矿业开发投资有限公司，河北 石 家庄 0 50000；

4.重庆大学 煤 矿灾害动力学与控制国家重点实验室，重庆 4 00030）

0 引言

滚石是指个别岩块因某种原因从边坡表面脱离失稳后，在重力作用下，沿着坡面经过滚动、回弹、跳跃或滑动等运动方式向坡底快速冲击，最后在较平缓的地带或受到障碍物阻止后，静止下来的一种动力演化现象［1］。一般，滚落的岩石也被统称为滚石。当滚石运动范围内有人类活动或人类构筑的设施并引起一定的损失时，就构成了滚石灾害［2］。

边坡滚石问题首先要解决的是滚石运动轨迹的估算问题。现有的滚石运动轨迹计算方法大多把滚石假设为质点，列出其做抛物运动过程中某一时刻的运动方程，但这些计算方法大多计算公式繁杂［3-6］，不利于实际工程中的应用。为此，基于已有研究成果的基础上，结合滚石实际的运动情况，提出了一种分段循环算法，用于滚石运动轨迹的计算与分析。

1 滚石运动轨迹理论计算

1.1 基本假设

从实验和现场观测结果分析，可以将滚石运动的全过程概化为三个阶段，即滚动（滑动）运动阶段、抛物运动阶段和与坡面碰撞阶段。由于与坡面碰撞阶段主要涉及到能量转换与损耗，滚石在这一阶段发生的位移比较小，因此，按照滚石的位移，则可以将滚石简化为：弹跳阶段和滚动（滑动）阶段两个阶段，而把碰撞阶段纳入到弹跳阶段。这样对于滚石运动轨迹的描述，只需要研究滚石的弹跳轨迹和滚动（滑动）轨迹［7］。

由于滚石运动非常复杂，为了便于理论分析，需要做如下假设：

（1）滚石为一个质点，忽略滚石大小、形状、角速度（转动动能）对滚石运动轨迹的影响。

（2）滚石的质量恒定，为常数，即滚石足够坚硬，在碰撞的过程中不会分裂。

（3）忽略空气阻力的影响。

（4）边坡坡面由一组连续的首尾相接的直线段组成。

（5）忽略边坡坡面粗糙度的影响。滚石在处于弹跳运动时，边坡坡面粗糙度的影响较小，可以忽略。当然，滚石在处于滚（滑）动运动时，边坡坡面粗糙度对滚石的运动有影响，由于测定边坡坡面粗糙度比较难，另外这种影响与滚石的大小有关，所以，在进行理论计算时，根据假设（1），忽略其影响。

（6）边坡坡面法向还原系数RN恒定。

基于这样的假设条件下，赋予滚石一个确定的初始状态（位置、初速度等）后，就可以采用分段循环算法，从理论上分析滚石的运动轨迹。当然，在此之前边坡坡面的各参数应该是确定的。

1.2 计算滚石弹跳运动过程的轨迹

滚石在弹跳阶段，与坡面发生碰撞后，必然会产生能量的损耗（这种能量的损耗从滚石速度的改变可以体现出来），也就是说，滚石每一次“弹起”都相当于重新处于一个初始状态，为接下来“跳”的计算提供了初始条件。因此，可以把滚石的整个弹跳阶段分割开来，化为一个个相互联系的“弹跳”过程。在已知边坡坡面的各参数和滚石的初始状态后（自然界中滚石的初始状态一般为静止），可以进行第一次弹跳运动轨迹的计算。然后，以第一次弹跳运动轨迹计算的结果为基础，进行第二次弹跳运动轨迹计算，以此类推，直到滚石弹跳运动结束。

滚石弹跳运动阶段轨迹计算的本质就是找出滚石每次“弹起”运动时的抛物线与边坡坡面各线段的交点以及每段抛物运动的时间，一旦确定了接触点和滚石做抛物运动的时间，则运用下面的公式，就可以确定滚石的运动轨迹。

找到滚石与边坡坡面的接触点后，若滚石仍有足够的能量弹离边坡坡面继续做抛物运动，则此接触点就是滚石下一段运动的初始位置，可以接着计算滚石弹跳运动轨迹，反之滚石没有足够的能量弹起，则滚石由此点转入滚（滑）动阶段。

下面介绍滚石做抛物运动时分段循环算法的原理与步骤。

先将滚石和边坡放入一个平面直角坐标系中（图1），这样，滚石所在初始位置和边坡各坡面线段端点都对应了相应坐标，则滚石第一次碰撞所接触坡面的位移变量方程为：

式中：

x，y——滚石在坡面位置上的点坐标；

X1，Y1——坡面直线端点坐标；

X2，Y2——坡面直线另一端点坐标；

u——当前坡面线段的斜率。

滚石做抛物运动时的位移变量方程为：

式中：

g——重力加速度（符号为负）；

X0，Y0——滚石初始位置坐标；

VX0，VY0——滚石初始速度沿X轴和Y轴方向的速度分量。

图1 坡面坐标及滚石碰撞前后速度分解示意图Fig.1 Sketch of slope coordinate and velocity before and after the collision

滚石做抛物运动时的速度变化为：

式中：

VXB，VYB——滚石与坡面碰撞前沿坐标系X和Y轴的速度分量。

令式（1）等于式（3），式（2）等于式（4），即滚石抛物线与坡面直线在碰撞点相交，得：

求解式（8）和（9），得：

式（9）的左边为当前坡面线段的斜率，得：

求解关于时间变量t的一元二次方程，可以得到滚石从初始位置开始，到与边坡坡面发生第一次碰撞所经历的时间T1为：

其中：

将［0，T1］区间内的任意t代入式（3）和式（4）中，就可以得到任意时刻滚石的位置坐标和最终接触点的坐标，那么这一时间段的滚石运动轨迹就确定了。

将滚石与边坡坡面发生第一次碰撞前的速度VXB和VYB沿坡面的法向与切向方向分解，可得：

式中：

VNB，VTB——滚石与坡面碰撞前沿坡面法向与切向方向的速度分量；

θ——当前坡面的坡面角。

利用RN和RT，可以求得滚石与坡面碰撞后的速度为：

式中：VNA，VTA——分别为滚石与坡面碰撞后沿坡面法向与切向方向的速度分量；

RN——边坡坡面法向还原系数；

RT——边坡坡面切向还原系数 ，其值可根据相关研究选取［3～5］。

将VNA，VTA重新转化为沿坐标系X轴、Y轴的速度分量，则有：

式中：VXA，VYA——滚石与坡面碰撞后沿坐标系X轴、Y轴的速度分量。

这样，VXA，VYA就成为了滚石下一次弹跳阶段的初始速度，且各坡面的几何坐标是已知的，若滚石继续保持弹跳运动，那这种计算就可以循环下去，直到滚石停止弹跳。

当然，通过滚石与坡面碰撞后的速度大小亦可以初步判断滚石弹跳是否会终止。

1.3 计算滚（滑）动运动过程的轨迹

从前面的分析（1.2节）可知，当滚石碰撞后剩余的动能难以继续维持弹跳运动时，则会转入滚（滑）动运动阶段，这时，边坡的坡面角θ和坡面摩擦角φ就成为影响滚石运动轨迹的关键因素。根据分段循环算法的原理和思路，同样可以分析滚石滚（滑）动阶段的运动轨迹。

当滚石存在沿边坡坡面切向向下的速度或速度为0时，此时滚石的运动状态取决于当前坡面的坡面摩擦角φ与坡面角θ。

当θ=φ时，滚石所受到的下滑力和摩擦阻力相等，滚石会沿边坡坡面向下滚动直到停止，且V=V0。需要指出的是，当V0=0时，则滚石会保持静止状态。

当θ＞φ时，滚石所受到的下滑力大于摩擦阻力，滚石会沿坡面加速下滑，且有：

式中：

VEXIT——滚石离开此段边坡坡面的最终速度；

V0——滚石沿当前边坡坡面切向的初始速度；

S——滚石在此段坡面上所滑移的距离；

g——重力加速度（-9.81m/s2）；

k——一个系数，其值为：

k=sinθ-cosθtanφ

当θ＜φ时，滚石受到的下滑力小于所受的摩擦阻力，滚石在当前坡面的速度会逐渐减小。如果边坡坡面足够长，滚石会停止运动，运动的距离S同样可由式（21）计算得出，此时VEXIT应为0。

由式（21）可知，当知道了滚石滚动（滑动）的距离后，就可以确定出VEXIT，如果接下来滚石重新进入了弹跳（或滑动）阶段，那么VEXIT就变成了下一个弹跳阶段的初始速度，速度方向为滚动坡面的切向方向，那么可以继续计算滚石的运动轨迹。

需要指出的是，滚石滚动和滑动所受的摩擦阻力是不同的，即坡面摩擦角φ的大小是不同的，可以通过试验与数值模拟相结合进行反分析粗略确定。

2 算例验证

以某岩质边坡为例，根据现场实测边坡地形图和坡面岩性等资料构建边坡模型。先是获取边坡的几何尺寸，并进行细化与概化，量测拐点之间的距离等数值（图2）。

然后用混凝土构建边坡坡面，形成边坡模型，并置于坐标纸旁边（图3），建立一个坐标系统，这样边坡上每个拐点及其线段都能用坐标或方程来描述。然后采取一种全新的数码图像处理技术来准确捕捉滚石某一时刻的具体位置。

图3 室内制作的模型边坡和坐标纸Fig.3 Slope model and coordinate paper p roduced in the lab

改变边坡的坡面角，使之分别为30°、45°和60°，选取质量为44.8g的滚石进行试验，得到3组（每组50条）滚石运动轨迹。现比较50条轨迹中，两者各自在30cm、65cm和100cm处的弹跳高度和速度，以验证结果的正确性。由于二者处于同一坐标系中，且大小相同，这样只需比较50条轨迹两者各自在30cm、65cm和100cm处相对于X轴的高度和速度。具体结果如表1。

表1 模型试验与数值模拟不同位置的滚石速度数据Table 1 Velocity of rock falls of the model test and numerical simulation in different locations

续表1

从表1可知，相应位置处的滚石运动速度的平均值和标准差相差不大，这样的误差在可接受的范围内，因此，证明采用分段循环算法所得的速度值基本能代表模型边坡的速度值。

3 结论

本文在总结分析现有的滚石运动过程轨迹计算方法基础上，结合滚石实际的运动情况，提出了一种新的滚石运动轨迹计算分段循环算法。该方法不仅可以用于滚石弹跳阶段的计算，而且可用于滚（滑）动阶段的计算。与现有方法相比，它具有下列优点：

（1）计算原理简单明确。该算法是将滚石和边坡的剖面图投影到一个平面直角坐标系中，按照二维平面问题考虑，不仅建立了滚石所在初始位置和边坡坡面线段各端点的具体坐标，而且使它们之间的位置关系非常直观和明了，便于建立边坡坡面直线方程和滚石运动轨迹方程。同时，滚石在运动过程受力分析也很清晰。

（2）考虑了运动轨迹的连续性。尽管该算法是把整个滚石运动过程按边坡坡面的现状分割成多个线段考虑，但这些线段是相互关联的计算单元，每一个计算单元的计算结果都为下一个计算单元所用，加强了各计算单元之间的联系，这样不仅保证了滚石运动轨迹的连续性，而且大大减少了计算过程中未知量的个数，使每个计算单元都只涉及到一个未知量，使计算更方便。

（3）易于使用。该算法中的方程均为简单的一元一次方程和一元二次方程，计算公式简单，在实际的工程应用中便于计算人员掌握和使用。

［1］张路青，杨志法，许兵.滚石与滚石灾害［J］.工程地质学报，2004，12（3）：225-231.ZHANG Luqing，YANG Zhifa，XU Bing.Rockfalls and rockfall hazards［J］.Journal of Engineering Geology，2004，12（3）：225-231.

［2］沈均，何思明，吴永.滚石灾害研究现状及发展趋势［J］.灾害学，2008，23（4）：122-126.SHEN Jun，HE Siming，WU Yong.Present research status and development trend of rockfall hazards［J］.Journal of Catastrophology，2008，23（4）：122-126.

［3］吕庆，孙红月，翟三扣，等.边坡滚石运动的计算模型［J］.自然灾害学报，2003，12（2）：79-84.LU Qing，SUN Hongyue，ZHAISankou，et al.Evaluation models of rockfall trajectory［J］.Journal of Natural Disasters，2003，12（2）：79-84.

［4］唐红梅，易朋莹.危岩落石运动路径研究［J］.重庆建筑大学学报，2003，25（l）：17-23.TANG Hongmei，YI Pengying.Research on dangerous rock movement route［J］.Journal of Chongqing Architecture University，2003，25（l）：17-23.

［5］Warren Douglas Stevens.Rocfall：A tool for probabilistic analysis，design of remedial measures and prediction of rockfalls［D］.Toronto：University of Toronto，1998.

［6］黄润秋，刘卫华.滚石在平台上的运动特征分析［J］.地球科学进展，2008，23（5）：517-523.HUANG Runqiu，LIU Weihua.Study on the movement charateristics of rolling rock blocks on p lat form［J］.Advances in Earth Science，2008，23（5）：517-523.［7］朱彬.岩质边坡滚石运动特性及防护研究［硕士论文］［D］.重庆：重庆大学，2010.ZHU Bin.Study on motion characteristic and protection of rockfalls on rock slope sandstone［M.S.Thesis］［D］.Chongqing：Chongqing University，2010.