王 纯, 潘思明

(成都信息工程学院数学学院,四川成都610225)

1 引言

设E和E*分别表示实Banach空间和它的对偶空间。K是E的非空子集。J表示E到2E*的由

给出的正规对偶映射,其中〈◦,◦〉表示E和E*中的对偶对。如果E是光滑的或E*是严格凸的,则J是单值的。

(i)伪压缩[1],如果对任意存在使得

(ii)λ-严格伪压缩[2],如果对任意的存在 λ＞0和,使得

或等价地

(iii)L-Lipschitzian,如果对任意的 x,y∈D T ,存在一个常数 L＞0,使得

显然,严格伪压缩映射是伪压缩的,λ-严格伪压缩映射是(1+λ)/λ-Lipschitzian的。

从1953年,Mann[3]引入了著名的Mann迭代方案：序列定义为x0∈K且

在2001年,Osilike-Udomene[4]在q-一致光滑且一致凸Banach空间中证明了Mann和Ishikawa[5]迭代方法的收敛性定理。在适当的控制条件下,获得了由式(1)定义的序列弱收敛到T的一个不动点。然而,序列并不包含常见的序列 αn=1/n,n≥1。这就引起了Zhang-Guo[6]在同样空间中改进结论的兴趣。Osilike-Udomene和Zhang-Guo的结论在限制条件Cq＜qλ/bq-1下都成立,其中 b∈(0,1)是一个常数,Cq是依赖于空间几何性质的常数。

引理1[7]设E是一致光滑实Banach空间,则存在一个不减连续函数满足和,使得对 ∀x,y∈E,有

最近,Chidume-Shahzad[8]用Reich的不等式(2)将Osilike-Udomene和Zhang-Guo的结论推广到了更一般的一致光滑和一致凸实Banach空间。

受Chidume-Shahzad和Zhang-Guo等人的激励和启发,考虑Mann迭代 x1∈K和

在某些适当的条件下,在具有Fréchet可微范数的实一致凸Banach空间中证明了严格伪压缩映射可数无限族对于Mann型迭代式(3)的弱收敛性。所得结果在某些方面改进和推广了Chidume-Shahzad及其相关的一些结论。

2 预备知识

E是Banach空间,如果对∀x,y∈E,‖x‖=‖y‖=1且 x≠y,都有‖x+y‖/2＜1,则 E是严格凸的。Banach空间 E为一致凸的,如果对∀ε＞0,∃δ＞0,使得对∀x,y∈E,‖x‖,‖y‖≤1且‖x-y‖≥ε,都有成立。E的凸性模的定义是

由定义可知范数Fréchet可微一定Gâteaux可微,并且对∀x∈E,有