黄振明

(苏州市职业大学基础部，江苏苏州215104)

0 引言

包含拉普拉斯算子Δ的方程或方程组是数学和物理学中较常见的一类，有关它们的谱估计已取得了一系列成果[1-7].现作进一步的推广，考虑下面包含Δ的一类高阶偏微分系统谱估计问题:

其中Ω⊂Rm(m≥2)是一个边界逐片光滑的区域，n是边界 ∂Ω的单位外法向量，x=(x1，x2，…，xm)，s，t是任意的正整数.

笔者主要运用文献[1]中的方法，并且参照文献[2]对方程及文献[3]对算子的讨论方法，推广到对偏微分系统(1)的谱估计，获得了用前n个谱来估计第n+1个谱的上界的不等式，其估计系数与区域Ω的几何度量无关，文献[4]讨论的问题是式(1)中当s=1，t=2时的特例，文献[5]讨论的问题也是式(1)中当s=2，t=3时的特例，因此本文结论是文献[4-5]的进一步推广，在物理学和力学等领域中有一定的应用价值[8].

1 主要结果

定理 1 设 λi(i=1，2，…，n+1)是式(1)的谱，则:

定理2 对于任何整数m≥2，n≥1，有:

2 定理的证明

记▽·▽=▽2=Δ，2维函数列向量u=

设式(2)的谱为 0＜λ1≤λ2≤…≤λn≤…，与之相对应的正交特征向量为(i=1，2，…，n)，即满足:

计算可得:

利用 φik与uj(j=1，2，…，n)的正交性，以及等式，从式(5)有:

利用式(4)和式(7)有:

在式(8)中，用 λn替代所有的 λi(i=1，2，…，n)，有:

引理1 设ui是式(2)对应谱 λi(i=1，2，…，n)的特征向量，则:

(a，b为实数)

证明 因为v1i，v2i分别是方程(-Δ)sy=λy和(-Δ)ty=λy对应的谱 λi的特征函数，由文献[3]中引理1可知:

于是:

即得引理1.

引理2 设ui是式(2)对应谱 λi(i=1，2，…，n)的特征向量，则:

证明 ①利用分部积分，有:

②类似地:

由式(10)可得:

利用引理2①和式(11)，有:

证毕.

引理 3 设 λ1，λ2，…，λn是式(2)的n个谱，则:

所以有:

利用引理2②，由式(12)知:

利用引理1和式(13)得:

证毕.

引理4 对于上述 φik和 λi(i=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，有下列不等式成立:

证明 由φik的定义，有:

易知式……