韩书霞 戚大伟

(东北林业大学，哈尔滨，150040)

采用计算机断层扫描技术(CT)对原木进行无损检测，对取得的缺陷图像采用分形理论进行图像处理，目前国内外已有很多学者在研究［1］，这些研究从分形理论的分形维数方面已取得了非常可喜的成果。但对多重分形频谱的选择却各有不同。本文通过采用多重分形三种频谱fh(α)、fg(α)、fl(α)的选择，对原木缺陷CT图像进行了处理，找到了一种新的准确确定原木内部缺陷边缘的方法。

1 多重分形分析理论与图像分析

1.1 多重分形理论简介

多重分形也称为标度分形或复分形。常用来表示一个整体特征标度指数(分形维数)所不能完全描述的奇异性几率分布，它是从信号的局部特征出发来研究其特征。多重分形分析的目的在于量化测度的奇异结构，以及在尺度发生变化时为伴随有不同范围的幂定律的现象提供模型［2］，尤其适用于一些难以建模的不规则图像处理和分析。由于多重分形分析具有良好的局部性和全局性，因此为图像的边缘检测提供了一种新的途径。

1.2 Hölder指数的应用

设f(x)为f:R→R的函数，如果有∣f(x)－P(x－x0)∣＜C∣x－x0∣α，其中:α＞0，P为不超过 α 的多项式，x∈B(x0，δ)得闭球，C为一大于0的常数，令

α(x0)=sup(α:f∈Cαx0);

α(x)=sup(α:f∈Cαx)。

则称α(x0)为函数f(x)在x0点的 Hölder指数，α(x)为f(x)在其定义域上的Hölder指数［3］，α是表征分形体某小区域的分维，称为局部分维。因此Hölder指数α能够很好地描述函数f(x)的局部特性。

1.3 多重分形频谱与图像分析

1.3.1 Hausdorff频谱

多重分形用Hölder指数α表示分形体小区域的分维，由于小区域的数目很大，于是可得一个由不同α所组成的无穷序列构成的谱f(α)，f(α)又称为奇异谱。

设Eα为 Hölder指数 α的点集，如果令fh(α)=dimh(Eα)，其中 dimh为的 Hausdorff维，那么称fh(α)为Eα的Hausdorff频谱，因此Hausdorff频谱能够很好地描述点集Eα的全局。

多重分形图像分析过程，首先选择一容量序列vn及参考测度μ［4］，计算出图像的Hölder指数α(x)和多重分形频谱fh(α(x));然后根据(α(x)，fh(α(x)))的值用几何和概率的方法对图像的每个像素点进行分类和处理。因此，判断某一像素点是否为边缘，既取决于局部特征，又要考虑到图像的整体性。

1.3.2 粗粒化频谱和离差频谱

当n∈N，ε＞0，令

N(α)=，其中#()表示集合中元素的数目设为α的粗粒化频谱和离差频谱。

1.3.3 Legendre 频谱

则存在一个凹函数τ，使得

设τ*为τ的Legendre多重分形频谱，则τ的Legendre变换为fl(α)= τ*(α)=infq［qα－τ(q)］，称fl(α)为 α 的 Legendre频谱［5］。

1.4 多重分形频谱的选择

多重分形理论的中心问题是三种频谱fh(α)、fg(α)、fl(α)的选择，由以上分析可以看出fl(α)的计算最为简单，但会导致信息的丢失;fg(α)要逐点计算，使奇异点分布的概率描述，能够很好的反映出频谱的细节信息;fh(α)对应于Hausdorff维，是奇异点的几何描述，计算比较复杂。在某些特定的情况下fh(α)=fg(α)=fl(α)，定为f(α)，但三者之间一般满足fh(α)≥fg(α)≥fl(α)的关系［3－4］。

根据多重分形理论及上述分析可得到:①一般说来，粗糙区域的点的规律性较低，需要找到可以与轮廓线区分的方法，如果与某点的Hölder指数相应的多重分形频谱的数值为f(α)=1，则该点一定在轮廓上。②边缘上的点除了有几何学的特征外，还存在统计学特征:当一个像素点是一个分辨率的图像中任意选定的，通过它被找到的概率可以判断其是否为边缘上的点。例:若频谱f(α)=1时，可以筛选出边缘点;若频谱f(α)=1.5时，可以得到不规则的轮廓线;若频谱f(α)接近2时，可以获得光滑区域或粗糙区域的信息［6］。

1.5 图像的多重分形边缘检测方法

根据所得出的多重分形频谱，可以将图像的像素点进行分类，若像素点的多重分形频谱f(α)=1.0，则此像素点为平滑边缘点;若f(α)=t(1.0＜t＜2.0)，则称该像素点为t类边缘平滑点。平滑边缘点和奇异边缘点就构成所检测图像的边缘。

2 方法验证

用计算机断层扫描技术(CT)对木材进行缺陷检测，实验所用的图像为原木CT腐朽图像(见图1)。图2～图4分别为多重分形频谱f(α)=1.0、1.0≤f(α)≤1.1、1.2≤f(α)≤1.3边缘检测结果。从图2～图4可以看出，只要选择适当的多重分形频谱阈值f(α)的值，使用多重分形频谱分析的边缘检测方法能够测出比较精细的边缘，且阈值f(α)的范围增大，检测出的边缘就更精确。

图1 原木CT腐朽原图像

图2 f(α)=1.0边缘检测结果

3 结束语

通过实验证实，基于多重分形频谱分析进行的木材CT图像的边缘检测是有效的，优点是:该方法首先计算图像各像素点的Hölder指数α(x，y)，然后估计出其多重分形频谱f(α)的值，最后对图像的像素点进行分类;同时从实验的结果可以看出，多重分形频谱的选择直接影响边缘检测的结果，选择适当的频谱阈值，可以得到更多的边缘细节;该方法对于图像边缘检测也具有良好的局部性。因此，多重分形频谱分析为木材CT图像边缘检测提供了一种新方法。

图3 1.0≤f(α)≤1.1 边缘检测结果

图4 1.2≤f(α)≤1.3 边缘检测结果

［1］Qi Dawei，Yu Lei，Han Shuxia，et al.Based on computed tomography multifractal analysis of wood defect［C］//IEEE International Conference on Control and Automation.Guangzhou，China:IEEE International Conference on Control and Automation，May 30 to June 1，2007:336－341.

［2］肯尼思·法尔科内.分形几何中的技巧［M］.曾文曲，王向阳，陆夷，译.沈阳:东北大学出版社，1999.

［3］王耀南，王绍源.基于多重分形频谱分析的图像边缘检测［J］.湖南大学学报:自然科学版，2004，31(4):28－33.

［4］Lévy Véhel J，VOJAKR.Multifractal analysis of choquet capacities:preliminary result［J］.Adv Appl Math，1998，20(1):1－43.

［5］戚大伟.基于分形理论的原木缺陷图像处理［M］.哈尔滨:哈尔滨地图出版社，2004.

［6］Canus C.Robust large deviation multifractal spectrum estimation［M］.Tangier:Proceedings of International Wavelets Conference，1998:739－740.