周新文，钟明光

(1.西安电子科技大学电子工程学院，陕西西安 710071;2.西安电子科技大学机电工程学院，陕西西安 710071)

双正交小波［1］具有对称性，因此具有线性相位，有较高的正则性和消失距，能够平滑地近似表示信号，使得小波变换后大系数尽可能地集中在图像边缘处及低频子带，适合于图像压缩。提升小波变换［2－5］是不依赖于傅里叶变换的新一代小波变换，运算量是传统小波变换的50%。提升小波变换可以实现同址计算，这样在运算中可以节省内存的消耗，易于硬件实现。同时提升方法的正反变换结构一致，只有正负号的区别。基于这样的原因，应用提升运算实现传统的双正交小波变换，在图像压缩系统中具有一定意义［6－8］。

1 将双正交小波变换分解为提升步骤

双正交小波具有很多优良的数学性质，适合在图像压缩系统中使用。理论证明，可以将传统的小波滤波器分解成提升步骤。将传统小波变换转换成提升运算，常见较简单的分解方法是基于因式分解的方法，这里应用Euclidean算法实现。

小波滤波器组，应用Euclidean进行分解。将表示为奇数系数与偶数系数的和

由于ho(z)和he(z)互素，式(1)可进一步表示为

对于给定滤波器，通过下式可以得到一个滤波器g0，令

当i为偶数

当i为奇数

由式(4)和式(5)得

令 si(z)=q2i－1(z)，t(z)=q2i(z)得到

对于9/7小波滤波器分解为

结合小波滤波器的多相分解he(z)，ho(z)，ge(z)和go(z)，联立方程组解得 α=－1.586 134，β=－0.052 98，γ =0.882 911，δ=0.443 506，k=1.149 604，得到9/7小波变换运算式如式(9)所示。

2 提升小波变换整体设计

采用3级小波变换，共6步一维小波变换操作，即第1层行变换，第2层列变换，第2层行变换，第2层列变换，第3层行变换，第3层列变换。模块要求1个时钟周期计算1个小波系数，进行实时处理。在FPGA中采用流水操作。假设1帧图像的大小为N×N像素，进行小波变换。分析系统可以知道，第1层行列变换需要2×N×N个时钟周期，第2层行列变换需要1/2×N×N个时钟周期，第3层行列变换需要1/8×N×N个时钟周期。

第1层行变换需要直接接收原始数据，因此时钟频率应当与数据同步时钟一致，并且单独设计。其余5步变换共需1.625×N×N个时钟周期。要满足1个时钟周期产生1个小波系数，则后续5步变换模块的时钟频率至少应当是第1层行变换时钟频率的1.625倍，这样设计就会引入双时钟。

FPGA硬件设计中的多时钟往往是造成系统工作不稳定的主要因素。设计时需要考虑的因素增多，因此设计难度增加。更高频率，对于器件的要求会提高，需要更高性能的芯片。同时更高的频率就意味着更高的功耗。基于以上考虑，本文在后续5步变换的设计中采用了双变换核的模式。当前帧图像的第1层行变换与上一帧图像的后续5步变换并行进行。后序变换过程中，采用双运算核设计，同时进行两行(列)数据的运算，这样就能够能保证在使用单一时钟的情况下，每个时钟周期处理1个数据，达到实时处理的要求，这是本文设计的关键。这里引入一个新问题，就是上一步变换的结果需要进行数据组织，为下一步两行(列)并行运算做好准备。小波变换模块整体设计如图1所示。

图1 小波变换模块框图

3 小波变换模块详细设计

下面分运算模块，控制模块和数据组织模块对硬件设计做一介绍。运算模块负责主要的数据运算，控制模块负责流程控制，数据组织模块负责对上一步变换的结果进行组织，以满足下一步两行(列)变换的需要。

(1)运算核设计。小波变换运算核设计如图2所示。运算核共涉及8个加法器和5个乘法器。由于前面输入或者前中间运算结果数据在后序运算中需要用到。因此依据时序为相应的信号设置一定数量的寄存器组。采用流水设计，每步运算到相应寄存器中去取数，这样保证数据时序对齐。同时运算中还需要处理的问题是边界扩展。图 2中的原始数据 x(n)，p(m)，q(y)和r(z)都需要作边界扩展，每行(列)各扩展一个数据。其中x(n)和q(y)需要在右边界作扩展，分别用第一个数据x(N)和q(Mi)，p(m)和r(z)需要在左边界作扩展，分别为最后第一个数据p(0)和r(0)，Mi为第i层一维变换需要处理的数据个数的1/2。边界扩展的时序同步由控制模块负责。

图2 小波变换运算硬件设计框图

(2)控制模块。控制模块主要负责各步变换运算的启动，停止，边界扩展同步控制，变换模块数据读写的使能，读写数据存储地址的产生等工作。在设计中将第一层行变换进行单独设计，后序5步变换进行集中设计。这里首先说明第一步行变换的流程控制，后序5步变换相似。

第1层行变换模块主要作以下工作:1)接收外部数据，将运算结果送数据组织模块。2)数据运算。3)产生写数据地址信号以及写使能信号。4)控制边界扩展。5)产生外部存储器RAM片选信号;f产生第一层行变换结束标志。数据按帧处理，帧内部按行处理。随原始数据有帧同步和行同步信号。控制模块依据同步信号来控制相应的计数器计数，以控制边界扩展，产生写使能，写数据地址，RAM片选信号，第一层行变换结束标志等信号的产生。

第1层行变换结束，随即启动该帧数据的后序5步变换依次进行。后序5步变换进行独立设计。同时后序5步变换依次控制两个运算核进行运算，实现两行(列)的并行处理，这是本设计的关键。

(3)数据组织模块。数据组织模块服务于运算模块。分为两个子模块，org1和org2，分别负责行变换数据组织和列变换数据组织。行变换结束之后的数据都要参与列变换运算，在数据组织过程中将同行相邻两列两个数据组织起来，存在一个存储单元内，这样在列变换时，读取一次就能读出来两个分别属于两列的数据，再分别送给两个运算核进行处理。数据组织及数据读取如图3所示。

图3 行变换数据组织及列变换数据读取示意图

列变换数据组织模块org2负责列变换结果数据组织。列变换结果只有第1层列变换后的LL1区域和第2层列变换后的LL2区域的数据参与下一层行变换，因此也只有这些数据需要进行组织，其他数据作为最终的变换结果。这些数据的组织是结合后序操作进行的，文中不予说明。列变换结果组织的目标是在行变换过程中读取一次数据，可以读取同一列相邻两行的两个数据。数据组织形式与图3所示类似。

4 试验仿真

文中的设计在外部时钟为50 MHz下通过仿真验证。系统工作稳定可靠。仿真中主要参照C语言版本的数据。格外关注帧数据首尾、行列首尾的同步信号、控制信号、计数器和运算数据等。同时在行列中进行了大量的数据核对工作。在硬件设计中使用了数字时钟管理模块(DCM)，同时对时钟和端口做了约束。仿真结果如图4所示。

图4 小波变换模块仿真截图

双正交小波变换采用提升步骤进行计算，大大降低了计算量，同时由于双运算核设计，系统能够达到实时处理的要求。双正交小波变换在图像压缩中性能优良。将小波变换作为图像压缩系统的一部分，进行了测试。测试过程中，将最终的小波系数按照编码扫描的要求进行组织。结果显示，该模块能够满足图像压缩系统的要求，数据正确，压缩性能优良，系统工作稳定。图5给出了小波变换模块应用于图像压缩编解码系统的测试结果。图5(a)为原始图像，图5(b)，图5(c)和图5(d)分别为8倍，16倍和20倍压缩重构图像。在20倍压缩时，重构图像依然比较清晰。

图5 小波变换图像压缩测试结果

5 结束语

小波变换是图像压缩系统中的关键模块。其端口定义明确，易于进行独立设计。本文应用提升算法在FPGA硬件平台上实现了小波变换。使用了双运算核的设计，使得系统在不增加设计复杂性，不提高功耗的情况下，实现了数据的实时处理。系统通过了仿真验证，工作稳定可靠，达到实用要求。

［1］ 崔锦泰.小波分析导论［M］.西安:西安交通大学出版社，1995.

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