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时滞微分方程弱解的最终可微性

2011-03-27王惠玲王文彧

长春工业大学学报 2011年3期
关键词:值域时滞算子

王惠玲, 王文彧

(山西农业大学信息学院,山西晋中 030800)

考虑如下形式的时滞微分方程:

其中

虽然(ADDE)弱解的最终可微性看起来是一个自然的问题,但在这个课题的研究上,仅发现了几篇文献[1-4]。而文献[2-4]都作用在Lp空间上,考虑了在标准X值函数空间上T(t)是解析和Φ是无界(但在某些意义下关于 A相对有界)的情况。而文献[5]是作用在C([-1,0],X)空间上,且较文献[2-4]而言,在 Φ上有较强的假设,即Φ有界,但在T(t)上的条件却是最优的。它利用A的预解式显得表达出了半群VΦ的生成元的预解式,再根据文献[6]的定理2.4.7得到VΦ的最终可微性,进而由 VΦ的最终可微性推出(ADDE)弱解的最终可微性。

文中继续探讨(ADDE)弱解的最终可微性问题,也就是相应于任一初始值f,(ADDE)的弱解是否在[t0,∞)对某个t0是(ADDE)的古典解。文中仍然假定Φ有界,但T(t)立刻可微和Φ的值域R(Φ)⊂D(A)中,在这些条件下,直接利用可微性的定义来讨论(ADDE)的弱解u(t)对某个t0的最终可微性。

考虑时滞微分方程(ADDE),假定A生成X上的一个C0半群{T(t):t≥0},Φ:C([-1,0],X)→X是一个有界线性算子。

为了通过半群的方法解决(ADDE),我们引入相应的C([-1,0],X)空间上的时滞微分算子(BΦ,D(BΦ)),定义为:

定理 1[7]定义(1)中的算子 BΦ生成C([-1,0],X)空间上的强连续半群{VΦ(t):t≥0}。

半群{VΦ(t):t≥0}有下面的平移性质:

下面的命题总结了VΦ与(ADDE)弱解之间的关系,并证实了(ADDE)是适当的。

命题1[5]f∈C([-1,0],X),定义

1)u是(ADDE)的唯一弱解。

2)如果 f∈D(BΦ),那么u是(ADDE)的一个古典解。

3)如果u′(t)对某个t≥0存在,那么u(t)∈D(A)且u′(t)=Au(t)+Φ ut成立。

定理2 时滞微分方程(ADDE),A生成X上的一个立刻可微半群{T(t):t≥0},Φ:C([-1,0],X)→X有界,且Φ的值域R(Φ)⊂D(A),则时滞微分方程(ADDE)的弱解最终可微。

证明:由命题知(ADDE)的弱解为:

下面考虑t>0的情况,由式(2)和式(3)有:

T(t)可微,得到

由于Φ的值域R(Φ)⊂D(A)

下面证明,当h→0时

当h→0时,s→t,t+h-s→0,故当0≤h<δ时,由T(t)的强连续性,有

又由 Φ,VΦ的有界性有,当0≤h<δ时

所以

所以

因此,时滞微分方程(ADDE)的弱解最终可微。证毕。

[1] Andras Batkai,Susanna Piazzera.Semigroups for delay equations in Lp-phase spaces[M].[S.l.]: Book Manuscriptin Press,2003.

[2] G Di Blasio.Differentiability of the solution semigroup for delay differential equations[C]//G.R.Goldstein,R.Nagel,S.Romanelli(Eds.).Evolution Equations:Dekker,2003:147-158.

[3] G Di Blasio,K Kunisch,E Sinestrari.Stability for abstract linear differential equations[J].Israel J. Math.,1985,50:231-263.

[4] E Sinestrari.A noncompact differentiable semigroup arising from an abstract delay equation[J].C. R.Math.Rep.Acad.Sci.Canada,1984,6:43-48.

[5] Charles J K Batty.Differentiability and growth bounds of solutions of delay equations[J].J. Math.Anal.Appl.,2004,299:133-146.

[6] A Pazy.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations[M].New York:Springer-Verlag,1983.

[7] K J Engel,R Nagel.One-parameter semigroups for linear evolution equations[M].New York:Graduate Texts in M ath.Springer-Verlag,2000.

[8] 周民强.实变函数[M].北京:北京大学出版社,2001.

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